مثلث خیام-پاسکال

مثلث خیام-پاسکال به آرایش مثلث‌شکل ضرایب بسط دوجمله‌ای گویند.

نام‌گذاری و پیشینه

«مثلث خیام-پاسکال» را گاه به‌ندرت «مثلث خیام-پاسکال-نیوتن» نیز می‌گویند. این مثلث توسط دانشمندان گوناگونی از هند و ایران و چین و غیره و بعدتر در اروپا بررسی شده‌است و در زبان‌های گوناگون نام‌های مختلفی دارد. در زبان انگلیسی «مثلث پاسکال»، ایتالیایی «مثلث تارتالیا» و در زبان چینی «مثلث یانگ هویی» نام گرفته‌است. در آثار متون سانسکریتِ پینگالا ریاضی‌دان هندی نشانه‌هایی از استفاده از این بسط دیده می‌شود. در همان دوران عمر خیام ریاضی‌دان ایرانی ادعای کشف روشی جبری برای به دست آوردن ضرایب بسط دوجمله‌ای می‌کند. کتاب مشکلات الحساب، کتابی که اثبات‌های این ادعا در آن آمده هنوز کشف نشده ولی در آثار طوسی تأثیر گرفته از او ضرایب را تا توان ۱۲ می‌توان دید.^[۲] بعد از او در قرن ۱۲ میلادی در آثار یانگ هویی ریاضی‌دان چینی، شکل مثلث به چشم می‌خورد. در قرن ۱۶ میلادی ریاضی‌دان ایتالیایی تارتالیا هم از خود این مثلث را به جا گذاشته و پس از یک قرن پاسکال ریاضی‌دان فرانسوی هم دوره با نیوتون روی این بسط و مثلث حسابی آن کار کرد.

توضیح

مثلث خیام، مثلث پاسکال، مثلث تارتالیا یا مثلث خیام-پاسکال به آرایش مثلثی شکل ضرایب بسط دوجمله‌ای گفته می‌شود. الگو:چپ $(\binom{n}{k})$ الگو:پایان چپ‌چین

خواص مثلث خیام-پاسکال

برای مطالعهٔ خواص جمله‌های مثلث کافی هست از تعریف استفاده کنیم

الگو:چپ $(\binom{n}{k}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$

$(\binom{n + 1}{k}) = (\binom{n}{k - 1}) + (\binom{n}{k})$

$(a + b)^{n} = (\binom{n}{0}) a^{n} + (\binom{n}{1}) a^{n - 1} b + . . . + (\binom{n}{n}) b^{n}$ الگو:پایان چپ‌چین

دنباله‌های ویژه در داخل مثلث خیام-پاسکال

دنباله توان ۲:

دنباله توان ۲ به صورت زیر می‌باشد

$2^{0} = 1, 2^{1} = 2, 2^{2} = 4, 2^{3} = 8, 2^{4} = 16, . . .$

الگوی جالبی در داخل مثلث پاسکال برای محاسبه توان ۲ وجود دارد:

$\begin{matrix} 2^{0} = 1 \\ 2^{1} = 1 + 1 = 2 \\ 2^{2} = 1 + 2 + 1 = 4 \\ 2^{3} = 1 + 3 + 3 + 1 = 8 \\ 2^{4} = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 \end{matrix}$

جمع عناصر هر سطر به ترتیب توان ۲ ایجاد می‌کند با توجه به رابطه (۳٫۳)اگر:

$2^{n} = (\binom{n}{0}) + (\binom{n}{1}) + . . . + (\binom{n}{n}) (n \geq 0)$

اگر a=۱وb=-۱به رابطهٔ زیر می‌رسیم:

$0^{n} = (\binom{n}{0}) - (\binom{n}{1}) + . . . + (- 1)^{n} (\binom{n}{n}) (n \geq 0)$

در رابطه اخیر اگر n=۰قرارداد ۱=۰۰ با مشتق‌گیری از طرفین از طرفین رابطهٔ (۳٫۳)برای a=xوb=۱داریم

$n (1 + x)^{n - 1} = (\binom{n}{1}) + 2 (\binom{n}{2}) x + . . . + r (\binom{n}{r}) x^{r - 1} + . . . + n x^{n - 1}$

حال اگر x=۱یا x=-۱باشد

 پرونده:Merrytahoorasf7.jpg

با مشتق گرفتن از مراتب بالاتر از رابطهٔ (۴٫۳)به روابط دیگری دست می‌یابیم با تعویض عمل مشتق‌گیری با روابط دیگری به دست می‌آید.

##دنبالهٔ توان‌های عدد ۱۱:
 پرونده:Merrytahoorasf8.jpg

در حالت کلی اگر جمله‌های سطر nام مثلث را از راست به چپ از دیدگاه تعداد یکان دهگان … نگاه‌کنیم و بدین طریق عدد Nnرابسازیم طبق اتحاد دو جمله‌ای خیام عدد Nnتوانی از ۱۱ است

 پرونده:Merrytahoorasf9.jpg

مثلاً:

 پرونده:Merrytahoorasf10.jpg

در مورد سطر ۷ام دقت کنید. الگوی زیر رعایت شده.

 پرونده:Merrytahoorasf11.jpg

دنبالهٔ اعداد مصور

در مثلث پاسکال قطر از اعداد طبیعی، قطر ۲ از اعداد مثلثی و قطر۳ از اعداد ۴وجهی تشکیل شده‌اند.

 پرونده:Merrytahoorasf12.jpg

با نگاه به قطرهای مثلث ملاحظه می‌شود که هر عدد مثلثی مجموع چند عدد طبیعی وهر عدد ۴ وجهی مجموع چند عدد مثلثی است. به‌طور کلی می‌توان گفت که قطر kام از اعداد مصور kبعدی تشکیل شده‌اند که به صورت (c(n,kمی‌باشد. در ضمن داریم:

$(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 2}{k - 1}) + . . . + (\binom{k - 1}{k - 1})$

دنبالهٔ فیبوناتچی

اگر قطرها را با شیب بیشتر انتخاب کنیم. داریم:

 پرونده:Merrytahoorasf34.jpg

مجموعه اعداد روی قطرها دنبالهٔ :

 … و۱۳و۸و۵و۳و۲و۱و۱

تشکیل می‌دهد. در این دنباله جمله اول ودوم ۱ است بقیه جملات جمع دو جمله قبلی اش می‌شوند

F1=F2=1 Fn+۲=Fn+1+Fn

اثبات این خاصیت به وسیله مثلث به راحتی قابل مشاهده است. اگر شیب قطرهای فیبوناچی را بیشتر کنیم. به تعمیمی از این دنباله دست خواهیم یافت

 پرونده:Merrytahoorasf13.jpg

اگر ان را با Gn نمایش دهیم داریم

 G1=G2=G3=1 Gn+۲=Gn+1+Gn-1

تعمیم‌های مختلف از دنباله فیبوناچی داریم.

دنبالهٔ (c(2n,n

دنباله واقع بر عمود منصف مثلث را به صورت زیر در نظر می‌گیریم… و۲۵۲و۷۰و۲۰و۶و۲و۱الگو:سخ $\begin{matrix} 1 = 1^{2} \\ 2 = 1^{2} + 1^{2} \\ 6 = 1^{2} + 2^{2} + 1^{2} \\ 20 = 1^{2} + 3^{2} + 3^{2} + 1^{2} \\ 70 = 1^{2} + 4^{2} + 6^{2} + 4^{2} + 1^{2} \\ . . . \end{matrix}$

تعمیم دنباله بالا به صورت زیر است:

$(\binom{2 n}{n}) = {(\binom{n}{0})}^{2} + {(\binom{n}{1})}^{2} + {(\binom{n}{2})}^{2} + . . . + {(\binom{n}{n})}^{2} (n \geq 0)$

به عبارت دیگر مجموع مربعات جمله‌های سطر nام برابر است با رآس تحتانی یک لوزی که این لوزی که این سطر یکی از قطرهای ان می‌باشد.

 پرونده:Merrytahoorasf16.jpg

ویژگی هندسی فانگ

ایا دو عدد در مثلث پاسکال می‌توان یافت که مجموع یا تفاضلشان مربع کامل باشد؟ عناصر واقع در قطر ۳، اعداد مثلثی هستندو نیز مجموع ۲ عدد مثلثی متوالی یک مربع کامل است. اگر Tnنشان دهنده nامین عدد مثلثی باشد. داریم:

Tn+Tn+1=n2

واین نتیجه می‌دهد.

 پرونده:Merrytahoorasf17.jpg

برای تفریق داریم

 پرونده:Merrytahoorasf18.jpg

 پرونده:Merrytahoorasf19.jpg

ویژگی چوب چوگان

تساوی زیر را در نظر بگیرید.الگو:سخ $(\binom{n}{0}) + (\binom{n + 1}{1}) + (\binom{n + 2}{2}) + (\binom{n + 3}{3}) = (\binom{n + 4}{4})$

اگر هر کدام از عناصر دو طرف تساوی را به صورت نقاط هندسی در نظر بگیرید

 پرونده:Merrytahoorasf21.jpg

اگر طول چوب چوگان را kدر نظر بگیریم (رابطه بالا را تعمیم دهید)

 پرونده:Merrytahoorasf22.jpg

ضرب صلیبی

در اینجا مستطیل‌هایی را به صورت قائم الزاویه و افقی در داخل مثلث خیام در نظر می‌گیریم. رئوس این مستطیل‌ها که بر روی درایه‌های این مثلث واقع شده‌اند در اینجا رابطه‌ای بر حسب درایه‌های واقع بر رئوس این مستطیل به دست می‌آوریم. نکته جالب این است که با لغزاندن مستطیل به نحوی که نقطهٔ cدر طول قطر (در امتداد پیکان) جابه‌جا شود

 همواره نسبت (a*d)/(c*b)یک مقدار ثابت خواهد بود

 پرونده:Merrytahoorasf23.jpg
 پرونده:Merrytahoorasf24.jpg

ستارهٔ داود

در خاصیت ضرب صلیبی اگر به جای مستطیل‌ها یک ستاره به صورت زیر در نظر بگیریم به قسمتی که رئوس ان بر درایه‌های مثلث خیام قرار گیرند. به تساوی زیر می‌رسیم:الگو:سخ $(\binom{n - 2}{r + 1}) (\binom{n - 1}{r}) (\binom{n}{r + 2}) = (\binom{n - 2}{r}) (\binom{n}{r + 1}) (\binom{n - 1}{r + 2})$

در مرکز این ستاره عنصر $(\binom{n - 1}{r + 1})$ قرار دارد