گاز ایده‌آل

{{#invoke:Sidebar |collapsible | bodyclass = plainlist | titlestyle = padding-bottom:0.3em;border-bottom:1px solid #aaa; | title = ترمودینامیک | imagestyle = display:block;margin:0.3em 0 0.4em; | image = | caption = موتور گرمایی کلاسیک کارنو | listtitlestyle = background:#ddf;text-align:center; | expanded =

| list1name = branches | list1title = شاخه‌ها | list1 = الگو:فهرست یک‌دست

• ترمودینامیک
• مکانیک آماری
• ترمودینامیک شیمیایی
• ترمودینامیک کوانتومی

• ترمودینامیک تعادلیالگو:\ترمودینامیک غیرتعادلی

| list2name = laws | list2title = قوانین | list2 = الگو:فهرست یک‌دست

• قانون صفرم ترمودینامیک
• قانون اول ترمودینامیک
• قانون دوم ترمودینامیک
• قانون سوم ترمودینامیک

| list3name = systems | list3title = سامانه‌ها | list3 =

• سامانه بسته
• تک‌افتاده

الگو:Sidebar

| list4name = sysprop | list4title = خواص ترمودینامیکی

| list4 =

Note: متغیرهای مزدوج (ترمودینامیک) in italics

الگو:Sidebar

| list5name = material | list5title = خواص مواد | list5 =

• پایگاه داده‌های خواص

ظرفیت گرمایی	$c=$	$T$ $\partial S$ $N$ $\partial T$
ضریب تراکم‌پذیری همدما	$\beta =-$	$1$ $\partial V$ $V$ $\partial p$
ضریب انبساط گرمایی	$\alpha =$	$1$ $\partial V$ $V$ $\partial T$

| list6name = equations | list6title = معادلات | list6 = الگو:فهرست یک‌دست

• قضیه کارنو
• قضیه کلازیوس
• روابط بنیادین
• قانون گاز آرمانی

• روابط ماکسول (ترمودینامیک)
• روابط متقابل اونزاگر
• معادلات بریجمن
• جدول معادلات ترمودینامیکی

| list7name = potentials | list7title = پتانسیل‌ها | list7 = الگو:فهرست یک‌دست

• انرژی آزاد ترمودینامیکی
• آنتروپی آزاد

| list8name = تاریخچه/فرهنگ | list8title = الگو:Hlist | list8 =

الگو:Sidebar

| list9name = scientists | list9title = دانشمندان | list9 = الگو:فهرست یک‌دست

• دانیل برنولی
• لودویگ بولتسمان
• نیکلا سعدی کارنو
• بنوآ پل امیل کلاپیرون
• رودلف کلاوزیوس
• کنستانتین کاراتئودوری
• پی‌یر دوهم
• جوسایا ویلارد گیبس
• هرمان فون هلمهولتز
• جیمز جول
• جیمز کلرک ماکسول
• یولیوس روبرت فون مایر
• لارس اونزاگر
• ویلیام جان مک‌کورن رانکین
• جان اسمیتون
• گئورگ اشتال
• بنجامین تامسون
• ویلیام تامسون
• یوهان دیدریک وان در والس
• جان جیمز واترستون

الگو:پایان فهرست یک‌دست | list10name = Other | list10title = سایر | list10 =

• هسته‌زایی (شیمی)
• خودسامانی
• خودسازمان‌دهی
• ترتیب و درهم‌ریختگی

| below =

• الگو:آیکون رده:ترمودینامیک

}}

ایزوترم‌های یک گاز ایده‌آل

گاز آرمانی یا گاز ایده‌آل الگو:به انگلیسی گازی است که فقط در تئوری وجود دارد و شامل تعداد زیادی ذرات نقطه ای متحرک است که تنها برهم کنش آنها برخودهای کاملاً الاستیک است. مفهوم گاز ایده‌آل بسیار کاربردی است چرا که از قانون گاز ایده‌آل پیروی می‌کند. قانون گاز ایده‌آل یک معادله حالت ساده است و برای استفاده در مکانیک آماری مناسب است.

در بسیاری از شرایط عادی، رفتار بسیاری از گازهای واقعی از نظر کیفی بسیار شبیه به گاز ایده‌آل است. بسیاری از گازها از قبیل نیتروژن، اکسیژن، هیدروژن و گازهای نجیب و همچنین برخی گازهای سنگین تر از قبیل کربن دی‌اکسید را می‌توان تا دقت‌های بالایی گاز ایده‌آل فرض کرد. به صورت کلی گازها هر چه دمای بیشتر و فشار کمتری داشته باشند به گاز ایده‌آل نزدیک تر خواهند بود. در دماهای پایین و فشارهای بالا، نیروهای بین مولکولی و فاصله‌ها تاثیرگذارتر بوده و در نتیجه اگر گاز را گاز ایده‌آل در نظر بگیریم خطای زیادی خواهیم داشت، مانند بسیاری از مبردها یا گازهایی که نیروهای بین مولکولی قوی دارند؛ مانند بخار آب.

قانون گازهای ایده‌آل

گازهای ایده‌آل در حالت تعادل داخلی از معادلهٔ گاز ایده‌آل پیروی می‌کنند:

الگو:وسط‌چین$PV=nRT$الگو:پایان

که در آن P فشار داخلی مجموعه، V حجم مجموعه، n تعداد مول‌های ذرات مجموعه، R ثابت جهانی گازها و T دمای مجموعه با یکای کلوین است.

اثبات

برای اثبات این قانون، اول لازم است که با قانون‌های بویل و شارل آشنا شویم.

قانون بویل

رابطهٔ بین فشار و حجم یک گاز در ۱۶۶۲ میلادی توسط رابرت بویل (Robert Boyle) اندازه‌گیری شد. بویل متوجه شد که افزایش فشار وارد شده بر یک گاز با کاهش حجم آن متناسب است. اگر فشار دو برابر شود، حجم به نصف کاهش می‌یابد. اگر فشار سه برابر شود، حجم به یک سوم حجم اولیه اش می‌رسد. قانون بویل می‌گوید که در دمای ثابت، حجم گاز با فشار رابطهٔ عکس دارد:

الگو:وسط‌چین$V\propto \frac{1}{P}$الگو:پایان

قانون شارل

رابطهٔ بین حجم و دمای یک گاز در ۱۷۸۷ میلادی توسط ژاک شارل (Jacques Charles) مطالعه شد و نتایج او به‌طور قابل ملاحظه‌ای توسط شاگردانش ژوزف گیلوساک (Joseph Gay - Lussac) گسترش یافت. براساس این قانون حجم تمام گازها، در فشار ثابت، با دمای مطلق آن گاز رابطهٔ مستقیم دارد:

الگو:وسط‌چین$V\propto T$الگو:پایان

قانون گازهای ایده‌آل

در دما و فشار ثابت حجم یک گاز با تعداد مول‌های آن نسبت مستقیم دارد. حجم یک مول گاز نصف حجم اشغال شده توسط ۲ مول گاز می‌باشد؛ بنابراین قانون و قوانین بویل و شارل می‌توان گفت که:

الگو:وسط‌چین$V\propto (\frac{1}{P})(T)(n)$الگو:پایان

با استفاده از یک عدد ثابت می‌توان تناسب را به تساوی تبدیل کرد:

الگو:وسط‌چین$V=R(\frac{1}{P})(T)(n)$الگو:پایان

که از آن نتیجه می‌شود:

الگو:وسط‌چین$PV=nRT$الگو:پایان

اثبات قانون گازهای ایده‌آل توسط نظریهٔ جنبشی گاز ها

نمونه‌ای از یک گاز شامل N (عدد آووگادرو) مولکول، هر کدام با جرم m را در نظر بگیرید. اگر این نمونه در مکعبی با یال a باشد، حجم آن برابر خواهد شد با:

الگو:وسط‌چین$V=a^3$الگو:پایان

با فرض اینکه یک سوم مولکول‌ها در جهت محور x، و دو سوم در جهت محورهای y و z حرکت کنند، آنگاه در هر ۲a حرکت یک مولکول گاز در جهت محور x داخل مکعب، مولکول حداقل یکبار به دیوارهٔ مکعب برخورد می‌کند. با فرض اینکه سرعت میانگین هر مولکول گاز برابر u است، در هر ثانیه هر مولکول گاز به اندازهٔ $\frac{u}{2a}$ "با یک دیواره مشخص از مکعب" برخورد دارد و در هر برخورد به اندازهٔ ۲mu اندازهٔ حرکت(تکانه) آن تغییر می‌کند. پس در هر ثانیه هر مولکول گاز به اندازهٔ زیر به دیوارهٔ مکعب نیرو وارد می‌کند:

الگو:وسط‌چین$(\frac{u}{2a})(2mu)=\frac{m{u}^2}{a}$الگو:پایان

از این رو برای تمام مولکولهای گاز می‌توان نوشت: S الگو:وسط‌چین$(\frac{N}{3})(\frac{m{u}^2}{a})$الگو:پایان

فشار عبارت است از نیرو بر سطح. پس:

الگو:وسط‌چین$P=\frac{\frac{Nm{u}^2}{3a}}{a^2}=\frac{Nm{u}^2}{3a^3}=\frac{Nm{u}^2}{3V}$الگو:پایان

پس می‌توان نوشت:

الگو:وسط‌چین$PV=\frac{1}{3}Nm{u}^2=(\frac{2}{3}N)(\frac{1}{2}m{u}^2)=\frac{2}{3}N(KE)$الگو:پایان

که KE در آن میانگین انرژی جنبشی مولکولی گاز می‌باشد؛ و از آنجا که انرژی جنبشی یک گاز (بنابر نظریه جنبشی گازها) با دمای مطلق آن نسبت مستقیم دارد و همچنین $N\propto n$، پس:

الگو:وسط‌چین$N(KE)\propto nT$الگو:پایان

که با ضرب کردن عدد ثابتی مثل R، می‌توان تناسب را به تساوی تبدیل کرد:

الگو:وسط‌چین$PV=nRT$الگو:پایان

جستارهای وابسته

• بنویت پال امیل کلاپیرون
• جدول معادلات ترمودینامیکی

منابع

• شیمی عمومی (جلد اول)، چارلز مورتیمر، عیسی یاوری، نشر علوم دانشگاهی، تهران، ۱۳۸۵، الگو:شابک
• فیزیک (جلد دوم)، رابرت رزنیک، دیوید هالیدی، کنت اس. کرین، جلال الدین پاشایی راد، محمد خرمی، محمد رضا بهاری، مرکز نشر دانشگاهی، تهران، ۱۳۸۱، الگو:شابک