توزیع احتمال توأم

الگو:نظریه احتمالات توزیع احتمال توأم یا توزیع احتمال مشترک الگو:به انگلیسی در بحث احتمالات مطرح می‌شود که در آن پدیدهٔ مورد نظر با مجموعه‌ای از متغیّرهای تصادفی که با آن در ارتباط هستند تفسیر و تغییرات این متغیرها در ارتباط با یکدیگر و به صورت توأم (مشترک) بررسی می‌شود. در بسیاری موارد علاقه‌مند هستیم که دو یا چند متغیر تصادفی را همزمان مطالعه کنیم. در این ارتباط برای هر دو متغیر تصادفی $x$ و $y$ تابع توزیع تجمعی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم الگو:وسط‌چین

$F_{X,Y}(a,b)=p\{X<=a,y<=b\},,-\mathrm{\infty }<a,b<\mathrm{\infty }$

الگو:پایان وسط‌چین تابع توزیع تجمعی $x$ را می‌توان از تابع توزیع تجمعی مشترک به صورت زیر بدست آورد الگو:وسط‌چین

$F_x(a)=p\{X<=a,y<=\mathrm{\infty }\}=F(a,\mathrm{\infty }),,-\mathrm{\infty }<a,b<\mathrm{\infty }$

به این ترتیب می‌توان بدست آورد

$p\{X>a,Y>b\}=1-F_X(a)-F_Y(b)+F(a,b)$

خواص مربوط به توزیع مشترک

۱. در حالت توزیع پیوسته داریم الگو:وسط‌چین

$p\{X\le y\le b\}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{a}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{b}{\int }}f(x,y)dxdy$

الگو:پایان وسط‌چین ۲. با مشتق‌گیری جزئی درمی‌یابیم الگو:وسط‌چین

$f(a,b)=\frac{d^2}{dadb}F(a,b)$

الگو:پایان وسط‌چین الگو:وسط‌چین ۳.$f_X(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}$ الگو:پایان وسط‌چین الگو:وسط‌چین

۴. $p\{a<X<a+da,b<y<=b+db\}=\underset{b}{\overset{b+db}{\int }}\underset{a}{\overset{a+da}{\int }}f(x,y)dxdyf(a,b)dadb$

استقلال متغیرهای تصادفی

متغیرهای تصادفی $X$و$Y$ را مستقل می‌گویند اگر برای هر دو مجموعه از اعداد حقیقی $A$و$B$ داشته باشیم الگو:وسط‌چین

$p\{X\in A,y\in B\}=p\{X\in A\}p\{y\in B\}$

این تعریف را می‌توان بر اساس تابع توزیع تجمعی مشترک هم بیان کرد

$F(a,b)=F_X(a)F_Y(b)$

تعمیم این رابطه به حالت پیوسته به شکل زیر است

$f(y,x)=f_X(x)f_Y(y)$

به عبارت دیگر $X$، $Y$ مستقل خواهند بود اگر با دانستن یکی از آنها تغییری در توزیع دیگری حاصل نشود.

مجموع متغیرهای تصادفی

معمولاً محاسبهٔ توزیع $X+Y$ دارای اهمیت خاصی است. رابطه تابع تجمعی به شکل زیر است الگو:وسط‌چین

$F_{X+Y}(a)=p\{X+Y<=a\}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{a-Y}{\int }}{f}_X(x)f_Y(y)dxdy$

یعنی تابع توزیع تجمعی از پیچش توزیعهای $Y$و$X$ به دست می آید.

اگر از رابطه بالا مشتق بگیریم تابع چگالی بدست می آید

$f_{X+Y}(a)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_X(a-y)f_Y(y)dy$

خاصیت مهم

اگر $X_i$‌ها متغیرهای تصادفی مستقل نرمال با پارامترهای $(u_i,{\sigma }^2)$ باشند آنگاه $\sum _{i=1}^N{x}_i$ دارای توزیع نرمال با پارامترهای $\sum _{i=1}^N{u}_i$ و $\sum _{i=1}^N{\sigma }_i^2$ است.

توزیع‌های شرطی

برای محاسبه توزیع شرطی در حالت گسسته به شکل زیر عمل می‌کنیم:

$p_{X|Y}(x|y)=p\{X=x|Y=y\}=\frac{p\{X=x,Y=y\}}{p\{Y=y\}}$

همچنین برای محاسبه توزیع‌های شرطی در حالت پیوسته می‌توان به شکل زیر عمل کرد

$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$

الگو:پایان وسط‌چین و برای محاسبه تابع توزیع تجمعی الگو:وسط‌چین

$F_{X|Y}(a|y)=p\{X<=a|Y=y\}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{a}{\int }}{f}_{X|Y}(x|y)dx$

جستارهای وابسته

• متغیر تصادفی
• تابع چگالی احتمال
• احتمال شرطی

منابع

• مبانی احتمال، شلدون راس، ترجمه دکتر احمد پارسیان و دکتر علی همدانی، ویرایش ششم