ماتریس متقارن

در جبر خطی ماتریس متقارن الگو:انگلیسی به ماتریسی می‌گویند که خودش با ترانهاده‌اش یکسان باشد به عبارت دیگر ماتریس A متقارن است اگر و فقط اگر:

A = A^{⊤} .

درایه‌های ماتریس متقارن نسبت به قطر اصلی آن متقارن اند یعنی اگرA = (a_ij)، بنابراین

a_{i j} = a_{j i}

به طور مثال ماتریس ۳×۳ زیر متقارن است

[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & - 5 \\ 3 & - 5 & 6 \end{matrix}] .

تمام ماتریس های قطری متقارن اند. تمام ماتریس‌های پادمتقارن درایه‌های قطر اصلی‌شان صفر است.

در مکانیک کوانتم و نظریه میدان کوانتمی برای برخوردها ماتریس متقارن مختلط نگاشته می‌شود که این مقاله برای ماتریس متقارن در اعداد حقیقی به کار می‌رود اما هر ماتریس متقارن مختلط A را می‌توان به صورت A = U D U^T نگاشت، که U ماتریس واحد و D ماتریس قطری با درایه‌های نامنفی است. یکی از معمولترین کاربردهای آن این است که نشان می‌دهد فرمیون‌ها همواره جرم نامنفی و حقیقی دارند که در نقض سی‌پی کاربرد دارد.

هر ماتریس مربعی را می‌توان به صورت جمع دو ماتریس متقارن و پادمتقارن نوشت:

X = \frac{1}{2} (X + X^{⊤}) + \frac{1}{2} (X - X^{⊤}) .

که الگو:Nowrap و الگو:Nowrap برای تمام ماتریس‌های مربعی صدق می‌کند.

ماتریس تقارن‌پذیر

یک ماتریس مربعی را زمانی تقارن‌پذیر گوییم هرگاه ماتریس قطری D و ماتریس متقارن S وجود داشته‌باشند که الگو:Nowrap ترانهاده یک ماتریس تقارن‌پذیر نیز تقارن‌پذیر است برای الگو:Nowrap ماتریس الگو:Nowrap فقط زمانی تقارن‌پذیر است که در شرایط زیر صدق کند:

$a_{i j} = 0 implies a_{j i} = 0 for all 1 \leq i \leq j \leq n .$
$a_{i_{1} i_{2}} a_{i_{2} i_{3}} \dots a_{i_{k} i_{1}} = a_{i_{2} i_{1}} a_{i_{3} i_{2}} \dots a_{i_{1} i_{k}} for any finite sequence (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k}) .$

جستارهای وابسته

انواع دیگر تقارن در ماتریس‌های مربعی نام‌های خاص خود را دارند به طور مثال:

همچنین ببینید: تقارن در ریاضیات.

منابع

پیوند به بیرون

الگو:ماتریس‌ها

ماتریس متقارن

فهرست

ماتریس تقارن‌پذیر

جستارهای وابسته

منابع

پیوند به بیرون

منوی ناوبری

ماتریس متقارن

ماتریس تقارن‌پذیر

جستارهای وابسته

منابع

پیوند به بیرون

منوی ناوبری

جستجو