ماتریس الحاقی

در جبر خطی، ماتریسِ الحاقیِ الگو:انگلیسی یک ماتریسِ مربعی، ترانهادهٔ ماتریسِ همسازه‌هایِ آن ماتریس، است. ماتریسِ همسازه‌ها الگو:انگلیسی به ماتریسی که شامل همه همسازه‌هایِ یک ماتریس می‌باشد، گفته می‌شود. از ماتریسِ الحاقی برای محاسبهٔ ماتریس وارون استفاده می‌شود.

تعریف

فرض کنید $A$ ماتریسی مربعی باشد.

کِهادِ $i j$ امِ ماتریسِ $A$ ، عبارت است از دترمینانِ ماتریسِ مربعی‌ای که از حذف سطرِ $i$ ام و ستونِ $j$ امِ ماتریسِ $A$ بدست می‌آید و آنرا با $𝐌_{i j}$ نشان می دهیم.
همسازۀ $i j$ امِ ماتریسِ $A$ ، از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:

𝐂_{i j} = (- 1)^{i + j} 𝐌_{i j} .

حال، ماتریس الحاقیِ ماتریسِ $A$ ، برابر است با ترانهادهٔ ماتریسِ $𝐂$ (ماتریسِ $𝐂$ همان ماتریسِ همسازه‌ها می‌باشد):

a d j (𝐀) = 𝐂^{T} .

ماتریس الحاقی ماتریس ۲ × ۲

𝐀 = (\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

برابر است با

adj (𝐀) = (\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}) .

ماتریس ۳ × ۳ زیر را در نظر بگیرید

𝐀 = (\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}) .

ماتریس الحاقی، ترانهادهٔ ماتریس همسازهٔ آن است، پس

𝐂 = (\begin{matrix} + | \begin{matrix} A_{22} & A_{23} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} | & - | \begin{matrix} A_{21} & A_{23} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} | & + | \begin{matrix} A_{21} & A_{22} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} | \\ - | \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} | & + | \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} | & - | \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} | \\ + | \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{22} & A_{23} \end{matrix} | & - | \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{21} & A_{23} \end{matrix} | & + | \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} | \end{matrix}) = (\begin{matrix} + | \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} | & - | \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{matrix} | & + | \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} | \\ - | \begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{matrix} | & + | \begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{matrix} | & - | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} | \\ + | \begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{matrix} | & - | \begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix} | & + | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} | \end{matrix}) .

بنابراین خواهیم داشت

adj (𝐀) = (\begin{matrix} + | \begin{matrix} A_{22} & A_{23} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} | & - | \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{32} & A_{33} \end{matrix} | & + | \begin{matrix} A_{12} & A_{13} \\ A_{22} & A_{32} \end{matrix} | \\ - | \begin{matrix} A_{21} & A_{23} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} | & + | \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{31} & A_{33} \end{matrix} | & - | \begin{matrix} A_{11} & A_{13} \\ A_{21} & A_{23} \end{matrix} | \\ + | \begin{matrix} A_{21} & A_{22} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} | & - | \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{31} & A_{32} \end{matrix} | & + | \begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} | \end{matrix}) = (\begin{matrix} + | \begin{matrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{matrix} | & - | \begin{matrix} 2 & 3 \\ 8 & 9 \end{matrix} | & + | \begin{matrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{matrix} | \\ - | \begin{matrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{matrix} | & + | \begin{matrix} 1 & 3 \\ 7 & 9 \end{matrix} | & - | \begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{matrix} | \\ + | \begin{matrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{matrix} | & - | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 7 & 8 \end{matrix} | & + | \begin{matrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{matrix} | \end{matrix})

که

| \begin{matrix} A_{i m} & A_{i n} \\ A_{j m} & A_{j n} \end{matrix} | = \det (\begin{matrix} A_{i m} & A_{i n} \\ A_{j m} & A_{j n} \end{matrix}) .

ماتریس الحاقی خواص زیر را دارد

a d j (𝐈) = 𝐈

a d j (𝐀 𝐁) = a d j (𝐁) a d j (𝐀)

a d j (c 𝐀) = c^{n - 1} a d j (𝐀)

برای تمام ماتریس های مربعی A و B