اثر (جبر خطی)

در جبر خطی اثر (رد یا تریس الگو:به انگلیسی) یک ماتریس مربعی nدرn برابر است با حاصل‌جمع درایه‌های قطر اصلی آن یا به عبارت دیگر:

$\mathrm{t}\mathrm{r}(A)=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}$

که a_ii درایه واقع بر سطر iم و ستون iم ماتریس A است. به بیان دیگر اثر یک ماتریس برابر مجموع ویژه‌مقادیر آن است. قابل ذکر است که اثر فقط برای ماتریس مربعی تعریف می‌شود.

قضیه کیلی-همیلتون نیز بیان می‌دارد که هر ماتریس در معادله سرشتنمایی خود صدق می‌کند.

مثال

اگر ماتریس T یک ماتریس مربعی باشد

$\left[\begin{array}{ccc}-2& 2& -3\\ -1& 1& 3\\ 2& 0& -1\end{array}\right].$

آنگاه الگو:Nowrap.

ویژگی‌ها

ویژگی‌های بنیادی

اثر یک عملگر خطی است:

$\mathrm{t}\mathrm{r}(A+B)=\mathrm{t}\mathrm{r}(A)+\mathrm{t}\mathrm{r}(B),$

$\mathrm{t}\mathrm{r}(cA)=c\cdot \mathrm{t}\mathrm{r}(A).$

برای هر ماتریس مربعی A و B و هر کمیت نرده‌ای c.

یک ماتریس و ترانهاده آن یک اثر دارند:

$\mathrm{t}\mathrm{r}(A)=\mathrm{t}\mathrm{r}(A^T)$.

اثر حاصلضرب

اگر A یک ماتریس m×n و B یک ماتریس n×mباشد آنگاه:

$\mathrm{t}\mathrm{r}(AB)=\mathrm{t}\mathrm{r}(BA).$

ویژگی‌های دیگر

اگر A یک ماتریس متقارن و B یک ماتریس پادمتقارن باشد

$\mathrm{t}\mathrm{r}(AB)=0$.

منابع

• ویکی‌پدیای انگلیسی