نمایش مبدأ برای ثابت‌های فایگنباوم

[[پرونده:Feigenbaum.png|بندانگشتی| ثابت فایگنباوم δ بیانگر حد نسبت فاصله بین نمودار دوشاخگی متوالی در ''L''<sub>''i''</sub> / ''L''<sub>''i''+1</sub> است]]
در [[ریاضیات]]، به‌طور خاص [[نظریه انشعاب|نظریه دوشاخگی]]، '''ثابت‌های فایگنباوم''' {{به انگلیسی|Feigenbaum constants}} دو [[ثابت ریاضی]] هستند که هر دو نسبت‌ها را در [[نمودار دوشاخگی]] برای یک [[نگاشت غیرخطی]] بیان می‌کنند. نام آن‌ها از فیزیکدان [[میچل فایگنباوم|میچل جی. فایگنباوم]] گرفته شده‌است.

== تاریخ ==
فایگنباوم در ابتدا ثابت اول را به [[دوشاخگی‌ها با مضاعف‌سازی-تناوب]] در [[نگاشت لوجستیک|نگاشت لُجستیک]] مربوط می‌کند، اما همچنین نشان می‌دهد که برای همه [[نگاشت (ریاضی)|نگاشت‌های]] یک-بُعدی با تنها [[بیشینه و کمینه|بیشینه]] [[تابع درجه دو|مرتبه دوم]] ثابت است. در نتیجه این عمومیت، هر [[نظریه آشوب|سیستم آشوبناکی]] که با این توصیف مطابقت داشته باشد، با همان سرعت دوشاخه می‌شود. در سال ۱۹۷۵ کشف شد.<ref>[http://chaosbook.org/extras/mjf/LA-6816-PR.pdf Feigenbaum, M. J. (1976) "Universality in complex discrete dynamics", Los Alamos Theoretical Division Annual Report 1975-1976]</ref><ref>Chaos: An Introduction to Dynamical Systems, K.T. Alligood, T.D. Sauer, J.A. Yorke, Springer, 1996, {{شابک|978-0-38794-677-1}}</ref>

== ثابت اول ==
ثابت اول فایگنباوم [[نسبت (ریاضیات)|نسبت]] محدود کننده هر فاصله دوشاخگی به بُعدی بین هر مضاعف‌سازی-تناوب، یک نگاشت تک-[[پارامتر]]<nowiki/>ی است

: <math>x_{i+1} = f(x_i),</math>

در این‌جا {{ریاضی|''f''(''x'')}} تابعی است که توسط پارامتر دوشاخگی {{ریاضی|'''''a'''''}} پارامتری می‌شود.

با این [[حد دنباله|حد]] بدست می‌آید<ref>Non-Linear Ordinary Differential Equations: Introduction for Scientists and Engineers (4th Edition), D. W. Jordan, P. Smith, Oxford University Press, 2007, {{شابک|978-0-19-920825-8}}.</ref>

: <math>\delta = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n-1} - a_{n-2}}{a_n - a_{n-1}} = 4.669\,201\,609\,\ldots,</math>

که در آن {{ریاضی|''a<sub>n</sub>''}}ها مقادیر گسسته {{ریاضی|'''''a'''''}} در تناوب {{ریاضی|''n''}}ام مضاعف‌سازی هستند.

=== نام‌ها ===
* سرعت دوشاخگی فایگنباوم
* دلتا

=== مقدار ===
* ۳۰ رقم اعشار: {{ریاضی|''δ''}} = {{Gaps|4.669|201|609|102|990|671|853|203|820|466|…}}
* {{OEIS|A006890}}
* یک تقریب منطقی ساده ۴ * ۳۰۷/۲۶۳ است

=== شرح ===
==== نگاشت‌های غیر-خطی ====
برای دیدن چگونگی پیدایش این عدد، نگاشت حقیقی یک پارامتری را در نظر بگیرید

: <math>f(x)=a-x^2.</math>

در اینجا {{ریاضی|''a''}} پارامتر انشعاب است، {{ریاضی|''x''}} متغیر است. مقادیر {{ریاضی|''a''}} که تناوب برای آن دوبرابر می‌شود (به عنوان مثال بزرگترین مقدار برای {{ریاضی|''a''}} با هیچ مدار تناوب-۲، یا بزرگترین {{ریاضی|''a''}} با هیچ مدار تناوب-۴)، {{ریاضی|''a''<sub>1</sub>}} ،{{ریاضی|''a''<sub>2</sub>}} و غیره هستند. این موارد در زیر آورده شده‌است:<ref>Alligood, [https://books.google.com/books?id=i633SeDqq-oC&pg=PA503 p. 503].</ref>
{| class="wikitable"
!{{math|''n''}}
!تناوب
!پارامتر دوشاخگی ({{math|''a<sub>n</sub>''}})
!نسبت {{math|{{sfrac|''a''{{sub|''n''−۱}} − ''a''{{sub|''n''−2}}|''a''{{sub|''n''}} − ''a''{{sub|''n''−۱}}}}}}
|-
|۱
|۲
|۰٫۷۵
|—
|-
|۲
|۴
|۱٫۲۵
|—
|-
|۳
|۸
|{{val|1.3680989}}
|۴٫۲۳۳۷
|-
|۴
|۱۶
|{{val|1.3940462}}
|۴٫۵۵۱۵
|-
|۵
|۳۲
|{{val|1.3996312}}
|۴٫۶۴۵۸
|-
|۶
|۶۴
|{{val|1.4008286}}
|۴٫۶۶۳۹
|-
|۷
|۱۲۸
|{{val|1.4010853}}
|۴٫۶۶۸۲
|-
|۸
|۲۵۶
|{{val|1.4011402}}
|۴٫۶۶۸۹
|-
|}
این نسبت در ستون آخر به ثابت اول فایگنباوم همگرا می‌شود. همین عدد برای [[نگاشت لوجستیک|نگاشت لُجستیک]] بوجود می‌آید

: <math> f(x) = a x (1 - x) </math>

با پارامتر حقیقی {{ریاضی|''a''}} و متغیر {{ریاضی|''x''}}. جدول‌بندی مجدد مقادیر دوشاخگی:<ref>Alligood, [https://books.google.com/books?id=i633SeDqq-oC&pg=PA504 p. 504].</ref>
{| class="wikitable"
!{{math|''n''}}
!تناوب
!پارامتر دوشاخگی ({{math|''a<sub>n</sub>''}})
!نسبت {{math|{{sfrac|''a''{{sub|''n''−۱}} − ''a''{{sub|''n''−2}}|''a''{{sub|''n''}} − ''a''{{sub|''n''−۱}}}}}}
|-
|۱
|۲
|۳
|—
|-
|۲
|۴
|{{val|3.4494897}}
|—
|-
|۳
|۸
|{{val|3.5440903}}
|۴٫۷۵۱۴
|-
|۴
|۱۶
|{{val|3.5644073}}
|۴٫۶۵۶۲
|-
|۵
|۳۲
|{{val|3.5687594}}
|۴٫۶۶۸۳
|-
|۶
|۶۴
|{{val|3.5696916}}
|۴٫۶۶۸۶
|-
|۷
|۱۲۸
|{{val|3.5698913}}
|۴٫۶۶۹۲
|-
|۸
|۲۵۶
|{{val|3.5699340}}
|۴٫۶۶۹۴
|-
|}

==== فراکتال ====
[[پرونده:Mandelbrot_zoom.gif|چپ|بندانگشتی|201x201پیکسل| [[خودهمانندی]] در این [[مجموعه مندلبرو]] که با بزرگنمایی در یک ریخت گِرد در حالی که در جهت منفی- {{ریاضی|''x''}} قرار دارد، نشان داده شده‌است. مرکز نمایش از (۱٬۰-) تا (۱<sub>/</sub>۳۱٬۰-) در حالی که چشم‌انداز از ۰٫۵ × ۰٫۵ تا ۰٫۱۲ × ۰٫۱۲ برای تقریبی نسبت فایگنباوم بزرگ‌نمایی می‌شود.]]
در مورد [[مجموعه مندلبرو]] برای [[چندجمله‌ای درجه دوم مختط]]

: <math> f(z) = z^2 + c </math>

ثابت فایگنباوم نسبت بین قطر دایره‌های متوالی در [[خط حقیقی|محور حقیقی]] در [[صفحه مختلط]] است (به انیمیشن سمت راست مراجعه کنید).
{| class="wikitable"
!{{math|''n''}}
!تناوب = {{math|2<sup>''n''</sup>}}
!پارامتر دوشاخگی ({{math|''c<sub>n</sub>''}})
!نسبت<math>= \dfrac{c_{n-1}-c_{n-2}}{c_n-c_{n-1}} </math>
|-
|۱
|۲
|{{val|-0.75}}
|—
|-
|۲
|۴
|{{val|-1.25}}
|—
|-
|۳
|۸
|{{val|-1.3680989}}
|۴٫۲۳۳۷
|-
|۴
|۱۶
|{{val|-1.3940462}}
|۴٫۵۵۱۵
|-
|۵
|۳۲
|{{val|-1.3996312}}
|۴٫۶۴۵۸
|-
|۶
|۶۴
|{{val|-1.4008287}}
|۴٫۶۶۳۹
|-
|۷
|۱۲۸
|{{val|-1.4010853}}
|۴٫۶۶۸۲
|-
|۸
|۲۵۶
|{{val|-1.4011402}}
|۴٫۶۶۸۹
|-
|۹
|۵۱۲
|{{val|-1.401151982029}}
|
|-
|۱۰
|۱۰۲۴
|{{val|-1.401154502237}}
|
|-
|{{math|∞}}
|
|{{val|-1.4011551890}}…
|
|}

== ثابت دوم ==
ثابت فایگنباوم دوم یا ثابت آلفایِ فایگنباوم {{OEIS|id=A006891}}،

: <math>\alpha = 2.502907875095892822283902873218...,</math>

نسبت بین عرض یک [[چنگک (ساختاری)|شاخک]] و عرض یکی از دو زیرشاخک‌های آن است (به استثنای شاخک نزدیک به تاخورده). هنگامی که نسبت بین زیرشاخک پایین و عرض شاخک اندازه‌گیری می‌شود، علامت منفی به {{math|''α''}} اعمال می‌شود.<ref name="NonlinearDynamics">Nonlinear Dynamics and Chaos, Steven H. Strogatz, Studies in Nonlinearity ,Perseus Books Publishing, 1994, {{شابک|978-0-7382-0453-6}}</ref>

این اعداد برای دسته بزرگی از [[سامانه پویا|سیستم‌های دینامیکی]] (به عنوان مثال، شیرهای چکه‌کننده تا [[رشد جمعیت]]) اعمال می‌شوند.<ref name="NonlinearDynamics">Nonlinear Dynamics and Chaos, Steven H. Strogatz, Studies in Nonlinearity ,Perseus Books Publishing, 1994, {{شابک|978-0-7382-0453-6}}[[ISBN (identifier)|ISBN]]&nbsp;[[ویژه:BookSources/978-0-7382-0453-6|978-0-7382-0453-6]]</ref>

یک تقریب منطقی ساده (۱۳/۱۱) * (۱۷/۱۱) * (۳۷/۲۷) است.

== خواص ==
اعتقاد بر این است که هر دو عدد [[اعداد متعالی]] هستند، اگرچه ثابت نشده‌است که چنین هستند.<ref>{{Cite thesis|first=Keith|last=Briggs|url=http://keithbriggs.info/documents/Keith_Briggs_PhD.pdf|publisher=[[دانشگاه ملبورن|University of Melbourne]]|year=1997|degree=PhD|title=Feigenbaum scaling in discrete dynamical systems}}</ref> همچنین هیچ اثبات شناخته شده‌ای مبنی بر غیر منطقی بودن هر یک از ثابت‌ها وجود ندارد.

اولین اثبات [[جهانشمولی]] بودن ثابتات فیگنباوم که توسط [[اسکار لنفورد|اسکار لانفورد]] در سال ۱۹۸۲ انجام شد<ref>{{Cite journal|last=Lanford III|first=Oscar|year=1982|title=A computer-assisted proof of the Feigenbaum conjectures|journal=Bull. Amer. Math. Soc.|volume=6|issue=3|pages=427–434|doi=10.1090/S0273-0979-1982-15008-X|doi-access=free}}</ref> (با تصحیح اندکی توسط [[ژان پیر اکمان]] و پیتر ویتوِر از [[دانشگاه ژنو]] در سال ۱۹۸۷<ref>{{Cite journal|last=Eckmann|first=J. P.|last2=Wittwer|first2=P.|year=1987|title=A complete proof of the Feigenbaum conjectures|journal=Journal of Statistical Physics|volume=46|issue=3–4|pages=455|bibcode=1987JSP....46..455E|doi=10.1007/BF01013368}}</ref>) با کمک رایانه انجام شد. با گذشت سال‌ها، روش‌های غیر-عددی برای قسمت‌های مختلف اثبات کشف شد و به [[میخائیل لیوبیچ]] در ارائهٔ اولین اثبات کامل غیر-عددی کمک کرد.<ref>{{Cite journal|last=Lyubich|first=Mikhail|year=1999|title=Feigenbaum-Coullet-Tresser universality and Milnor's Hairiness Conjecture|journal=Annals of Mathematics|volume=149|issue=2|pages=319–420|arxiv=math/9903201|bibcode=1999math......3201L|doi=10.2307/120968|jstor=120968}}</ref>

== جستارهای وابسته ==
* [[نمودار دوشاخگی]]
* [[نظریه انشعاب|نظریه دوشاخگی]]
* [[خرابی آبشاری|شکست آبشاری]]
* [[تابع فایگنباوم]]
* [[فهرست نگاشت‌های آشوبناک]]
* [[قضیه راکت تنیس|قضیه راکتِ تنیس]]
* [[وارونی ژئومغناطیسی]]

== یادداشت ==
{{پانویس|۲|چپ‌چین=بله}}

== منابع ==
{{چپ‌چین}}
* Alligood, Kathleen T. , Tim D. Sauer, James A. Yorke, ''Chaos: An Introduction to Dynamical Systems, Textbooks in mathematical sciences'' Springer, 1996, {{isbn|978-0-38794-677-1}}
* {{Cite journal|last=Briggs|first=Keith|date=July 1991|title=A Precise Calculation of the Feigenbaum Constants|url=http://www.ams.org/journals/mcom/1991-57-195/S0025-5718-1991-1079009-6/S0025-5718-1991-1079009-6.pdf|journal=Mathematics of Computation|volume=57|issue=195|pages=435–439|bibcode=1991MaCom..57..435B|doi=10.1090/S0025-5718-1991-1079009-6}}
* {{Cite thesis|first=Keith|last=Briggs|url=http://keithbriggs.info/documents/Keith_Briggs_PhD.pdf|publisher=University of Melbourne|year=1997|degree=PhD|title=Feigenbaum scaling in discrete dynamical systems}}
* {{Cite web|first1=David|last1=Broadhurst|url=http://www.plouffe.fr/simon/constants/feigenbaum.txt|title=Feigenbaum constants to 1018 decimal places|date=22 March 1999}}
* {{MathWorld|title=Feigenbaum Constant}}

{{پایان چپ‌چین}}

== پیوند به بیرون ==
{{چپ‌چین}}
* [http://mathworld.wolfram.com/FeigenbaumConstant.html Feigenbaum Constant - از Wolfram MathWorld]
* {{OEIS el|A006890|Decimal expansion of Feigenbaum bifurcation velocity}}

: {{OEIS el|A006891|Decimal expansion of Feigenbaum reduction parameter}}
: {{OEIS el|A094078|Decimal expansion of Pi + arctan(e^Pi)}}
* [http://planetmath.org/feigenbaumconstant ثابت Feigenbaum] - PlanetMath
* {{Cite web|last=Moriarty|first=Philip|title={{math|''δ''}} – Feigenbaum Constant|url=http://www.sixtysymbols.com/videos/feigenbaum.htm|website=Sixty Symbols|publisher=[[Brady Haran]] for the [[University of Nottingham]]|last2=Bowley, Roger|year=2009}}
{{پایان چپ‌چین}}

[[رده:ثابت‌های ریاضی]]
[[رده:سامانه‌های دینامیکی]]
[[رده:نظریه آشوب]]
[[رده:نظریه دوشاخگی]]