ثابت‌های فایگنباوم

ثابت فایگنباوم δ بیانگر حد نسبت فاصله بین نمودار دوشاخگی متوالی در L_i / L_i+1 است

در ریاضیات، به‌طور خاص نظریه دوشاخگی، ثابت‌های فایگنباوم الگو:به انگلیسی دو ثابت ریاضی هستند که هر دو نسبت‌ها را در نمودار دوشاخگی برای یک نگاشت غیرخطی بیان می‌کنند. نام آن‌ها از فیزیکدان میچل جی. فایگنباوم گرفته شده‌است.

تاریخ

فایگنباوم در ابتدا ثابت اول را به دوشاخگی‌ها با مضاعف‌سازی-تناوب در نگاشت لُجستیک مربوط می‌کند، اما همچنین نشان می‌دهد که برای همه نگاشت‌های یک-بُعدی با تنها بیشینه مرتبه دوم ثابت است. در نتیجه این عمومیت، هر سیستم آشوبناکی که با این توصیف مطابقت داشته باشد، با همان سرعت دوشاخه می‌شود. در سال ۱۹۷۵ کشف شد.

ثابت اول

ثابت اول فایگنباوم نسبت محدود کننده هر فاصله دوشاخگی به بُعدی بین هر مضاعف‌سازی-تناوب، یک نگاشت تک-پارامتری است

$x_{i+1}=f(x_i),$

در این‌جا الگو:ریاضی تابعی است که توسط پارامتر دوشاخگی الگو:ریاضی پارامتری می‌شود.

با این حد بدست می‌آید

$\delta =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n-1}-a_{n-2}}{a_n-a_{n-1}}=4.669201609\dots ,$

که در آن الگو:ریاضیها مقادیر گسسته الگو:ریاضی در تناوب الگو:ریاضیام مضاعف‌سازی هستند.

نام‌ها

• سرعت دوشاخگی فایگنباوم
• دلتا

مقدار

• ۳۰ رقم اعشار: الگو:ریاضی = الگو:Gaps
• الگو:OEIS
• یک تقریب منطقی ساده ۴ * ۳۰۷/۲۶۳ است

شرح

نگاشت‌های غیر-خطی

برای دیدن چگونگی پیدایش این عدد، نگاشت حقیقی یک پارامتری را در نظر بگیرید

$f(x)=a-x^2.$

در اینجا الگو:ریاضی پارامتر انشعاب است، الگو:ریاضی متغیر است. مقادیر الگو:ریاضی که تناوب برای آن دوبرابر می‌شود (به عنوان مثال بزرگترین مقدار برای الگو:ریاضی با هیچ مدار تناوب-۲، یا بزرگترین الگو:ریاضی با هیچ مدار تناوب-۴)، الگو:ریاضی ،الگو:ریاضی و غیره هستند. این موارد در زیر آورده شده‌است:

الگو:Math	تناوب	پارامتر دوشاخگی (الگو:Math)	نسبت الگو:Math
۱	۲	۰٫۷۵	—
۲	۴	۱٫۲۵	—
۳	۸	الگو:Val	۴٫۲۳۳۷
۴	۱۶	الگو:Val	۴٫۵۵۱۵
۵	۳۲	الگو:Val	۴٫۶۴۵۸
۶	۶۴	الگو:Val	۴٫۶۶۳۹
۷	۱۲۸	الگو:Val	۴٫۶۶۸۲
۸	۲۵۶	الگو:Val	۴٫۶۶۸۹

این نسبت در ستون آخر به ثابت اول فایگنباوم همگرا می‌شود. همین عدد برای نگاشت لُجستیک بوجود می‌آید

$f(x)=ax(1-x)$

با پارامتر حقیقی الگو:ریاضی و متغیر الگو:ریاضی. جدول‌بندی مجدد مقادیر دوشاخگی:

الگو:Math	تناوب	پارامتر دوشاخگی (الگو:Math)	نسبت الگو:Math
۱	۲	۳	—
۲	۴	الگو:Val	—
۳	۸	الگو:Val	۴٫۷۵۱۴
۴	۱۶	الگو:Val	۴٫۶۵۶۲
۵	۳۲	الگو:Val	۴٫۶۶۸۳
۶	۶۴	الگو:Val	۴٫۶۶۸۶
۷	۱۲۸	الگو:Val	۴٫۶۶۹۲
۸	۲۵۶	الگو:Val	۴٫۶۶۹۴

فراکتال

خودهمانندی در این مجموعه مندلبرو که با بزرگنمایی در یک ریخت گِرد در حالی که در جهت منفی- الگو:ریاضی قرار دارد، نشان داده شده‌است. مرکز نمایش از (۱٬۰-) تا (۱_/۳۱٬۰-) در حالی که چشم‌انداز از ۰٫۵ × ۰٫۵ تا ۰٫۱۲ × ۰٫۱۲ برای تقریبی نسبت فایگنباوم بزرگ‌نمایی می‌شود.

در مورد مجموعه مندلبرو برای چندجمله‌ای درجه دوم مختط

$f(z)=z^2+c$

ثابت فایگنباوم نسبت بین قطر دایره‌های متوالی در محور حقیقی در صفحه مختلط است (به انیمیشن سمت راست مراجعه کنید).

الگو:Math	تناوب = الگو:Math	پارامتر دوشاخگی (الگو:Math)	نسبت$=\frac{c_{n-1}-c_{n-2}}{c_n-c_{n-1}}$
۱	۲	الگو:Val	—
۲	۴	الگو:Val	—
۳	۸	الگو:Val	۴٫۲۳۳۷
۴	۱۶	الگو:Val	۴٫۵۵۱۵
۵	۳۲	الگو:Val	۴٫۶۴۵۸
۶	۶۴	الگو:Val	۴٫۶۶۳۹
۷	۱۲۸	الگو:Val	۴٫۶۶۸۲
۸	۲۵۶	الگو:Val	۴٫۶۶۸۹
۹	۵۱۲	الگو:Val
۱۰	۱۰۲۴	الگو:Val
الگو:Math		الگو:Val…

ثابت دوم

ثابت فایگنباوم دوم یا ثابت آلفایِ فایگنباوم الگو:OEIS،

$\alpha =2.502907875095892822283902873218...,$

نسبت بین عرض یک شاخک و عرض یکی از دو زیرشاخک‌های آن است (به استثنای شاخک نزدیک به تاخورده). هنگامی که نسبت بین زیرشاخک پایین و عرض شاخک اندازه‌گیری می‌شود، علامت منفی به الگو:Math اعمال می‌شود.

این اعداد برای دسته بزرگی از سیستم‌های دینامیکی (به عنوان مثال، شیرهای چکه‌کننده تا رشد جمعیت) اعمال می‌شوند.

یک تقریب منطقی ساده (۱۳/۱۱) * (۱۷/۱۱) * (۳۷/۲۷) است.

خواص

اعتقاد بر این است که هر دو عدد اعداد متعالی هستند، اگرچه ثابت نشده‌است که چنین هستند. همچنین هیچ اثبات شناخته شده‌ای مبنی بر غیر منطقی بودن هر یک از ثابت‌ها وجود ندارد.

اولین اثبات جهانشمولی بودن ثابتات فیگنباوم که توسط اسکار لانفورد در سال ۱۹۸۲ انجام شد (با تصحیح اندکی توسط ژان پیر اکمان و پیتر ویتوِر از دانشگاه ژنو در سال ۱۹۸۷) با کمک رایانه انجام شد. با گذشت سال‌ها، روش‌های غیر-عددی برای قسمت‌های مختلف اثبات کشف شد و به میخائیل لیوبیچ در ارائهٔ اولین اثبات کامل غیر-عددی کمک کرد.

جستارهای وابسته

• نمودار دوشاخگی
• نظریه دوشاخگی
• شکست آبشاری
• تابع فایگنباوم
• فهرست نگاشت‌های آشوبناک
• قضیه راکتِ تنیس
• وارونی ژئومغناطیسی

منابع

• Alligood, Kathleen T. , Tim D. Sauer, James A. Yorke, Chaos: An Introduction to Dynamical Systems, Textbooks in mathematical sciences Springer, 1996, الگو:Isbn
• الگو:Cite journal
• الگو:Cite thesis
• الگو:Cite web
• الگو:MathWorld

پیوند به بیرون

• Feigenbaum Constant - از Wolfram MathWorld
• الگو:OEIS el

الگو:OEIS el

الگو:OEIS el

• ثابت Feigenbaum - PlanetMath
• الگو:Cite web