نمادگذاری‌های مشتق

الگو:بهبود منبع در حساب دیفرانسیل تنها یک نوع نمادگذاری واحد برای مشتق وجود ندارد و نمادگذاری‌های مختلفی توسط ریاضی‌دان‌ها استفاده شده‌است. در هر زمینه‌ای خاص٬ برخی نمادها مفیدترند.

نمادگذاری لایب‌نیتز

dy

dx

d²y

dx²

معمول‌ترین نمادگذاری استفاده‌شده مربوط به لایب‌نیتز است.در این نمادگذاری مشتق $y$ نسبت به$x$ می‌شود: $\frac{dy}{dx}$

و مشتق‌های مرتبه‌های بالاتر چنین نمایش داده می‌شوند:

الگو:چپ‌چین $\frac{d^{n}y}{d{x}^n},\frac{d^n(f(x))}{d{x}^n},\text{ or }\frac{d^n}{d{x}^n}(f(x))$

نمادگذاری لاگرانژ

یکی دیگر از نمادگذاری های پرکاربرد ٬توسط ژوزف لویی لاگرانژ ابداع شده‌است.سه مرتبه‌ی اول مشتق چنین اند: $f^{\prime }$ ٬$f^{″}$ ٬ $f^{‴}$

و مشتق مرتبه $n$ نیز به صورت f ⁽ⁿ⁾ نشان داده می‌شود.

نمادگذاری اویلر

در نمادگذاری لئونارد اویلر مشتق به شکل یک عملگر دیفرانسیلی به شکل $D$ که قبل از تابع می‌آید نمایش می‌یابد:

مشتق اول: $Df$

مشتق دوم: $D^{2}f$

مشتق nام: $D^{n}f$

معمولاً متغیری که نسبت به آن مشتق گرفته‌می‌شود را هم این‌طور نشان می‌دهند: $D_x^{n}y$

نمادگذاری نیوتون

ẋ ẍ

در نمادگذاری نیوتن ٬ مشتق با قرار دادن نقطه بالای تابع مورد نظر نمایش می‌یابد.این نوع نمایش مشتق٬ بیشتر برای مشتق زمانی و حداکثر تا مرتبه‌ی دوم کاربرد دارد:

$\dot{y}=\frac{dy}{dt}$ و $\ddot{y}=\frac{d^{2}y}{d{t}^2}$

نمادگذاری در حساب برداری

در حساب برداری ٬ابتدا یک عملگر دیفرانسیلی با نام عملگر دل تعریف می‌کنیم:

الگو:چپ‌چین $\mathrm{\nabla }=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})$

حال گرادیان در دستگاه دکارتی چنین تعریف می‌شود:

الگو:چپ‌چین $\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\phi =(\frac{\partial \phi }{\partial x},\frac{\partial \phi }{\partial y},\frac{\partial \phi }{\partial z})$ ,

$=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})\phi$ ,

$=\mathrm{\nabla }\phi$ .

الگو:پایان چپ‌چین دیورژانس روی یک میدان برداری عمل می‌کند و به این شکل‌ها نمایش داده‌می‌شود:

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝐀=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}$ ,

$=(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z})\cdot 𝐀$,

$=\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀$ .

الگو:پایان چپ‌چین عملگر لاپلاسین : $\mathrm{\Delta }={\mathrm{\nabla }}^2$ عملگر لاپلاسین خوانده می‌شود:

الگو:چپ‌چین $\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}\phi =\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\phi )$

$=(\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla })\phi ={\mathrm{\nabla }}^2\phi =\mathrm{\Delta }\phi$ ,

الگو:پایان چپ‌چین و عملگر کرل یا تاو٬ $\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{l}𝐀$ یا $\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}𝐀$ که روی میدان برداری A عمل می‌کند به این صورت‌ها قابل نمایش است:

الگو:چپ‌چین $\mathrm{c}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{l}𝐀=(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z},\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x},\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y})$

دیگر نمادگذاری‌ها

برخی روش‌های دیگر برای نمایش مشتق ٬ در حساب چندمتغیره یا آنالیز تانسوری استفاده می‌شود.برای مثال:

الگو:چپ‌چین $f_x=\frac{df}{dx}$

$f_{xx}=\frac{d^{2}f}{d{x}^2}.$

الگو:پایان چپ‌چین و

الگو:چپ‌چین $\frac{\partial f}{\partial x}=f_x={\partial }_{x}f={\partial }^{x}f,$

الگو:پایان چپ‌چین البته دو نماد آخر تنها در فضای اقلیدسی یکسانند و روی خمینه ها یکی نیستند.

پیوند به بیرون

• Earliest Uses of Symbols of Calculus, maintained by Jeff Miller.

منابع

• Mathematical Analysis I & II,V.A Zorich