نابرابری کوشی–شوارتز

یکی از نامساوی‌های مهم و پرکاربرد در ریاضیات، نامساوی کوشی-شوارتس الگو:به انگلیسی است که به نام‌های «نامساوی کوشی»، «نامساوی شوارتس»، «نامساوی کوشی-بونیاکوفسکی-شوارتس» و «نامساوی لاگرانژ» نیز مشهور است. علت این نامگذاری‌ها، شیوه‌های گوناگون گسترش یافتن این نامساوی به فضاهای مختلف است که در زمینه‌های مختلفی مانند جبر خطی، آنالیز ریاضی و نظریه احتمالات مطرح می‌شود. نابرابری کوشی-شوارتز به عنوان یکی از مهم‌ترین نابرابری‌های ریاضیات شناخته می‌شود و به نام آگوستین لویی کوشی و هرمن امندوس شوارتز خوانده می‌شود.

بیان نابرابری

نابرابری کوشی-شوارتز بیان می‌کند که برای هر دو بردار دلخواه x و y در فضای ضرب داخلی داریم:

$|⟨x,y⟩{|}^2\le ⟨x,x⟩\cdot ⟨y,y⟩$

که در آن $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ ضرب داخلی است. هم‌چنین با گرفتن ریشه دوم طرفین و با توجه به متریک القاء شده توسط این عملگر ضرب داخلی، نامساوی به شکل زیر نوشته می‌شود:

$|⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$

حالت تساوی رخ می‌دهد اگر و فقط اگر x و y وابستهٔ خطی باشند.

حالات خاص

لم تیتو

برای لم تیتو ( همچنین بنام نامساوی برگستورم، فرم انگل یا لم T2 نیز شناخته می‌شود) داریم، برای اعداد حقیقی و مثبت داریم:

$\frac{{\left(\sum _{i=1}^n{u}_i\right)}^2}{\sum _{i=1}^n{v}_i}\le \sum _{i=1}^n\frac{u_i^2}{v_i}\equiv \frac{u_1^2}{v_1}+\frac{u_2^2}{v_2}+\cdots +\frac{u_n^2}{v_n}\ge \frac{{(u_1+u_2+\cdots +u_n)}^2}{v_1+v_2+\cdots +v_n}.$

برای اثبات کافیست تا ضرب داخلی روی فضای برداری ${ℝ}^n$ را در نظر بگیرید و با جایگذاری $u_{i^{\prime }}=\frac{u_i}{\sqrt{v_i}}$ و $v_{i^{\prime }}=\sqrt{v_i}$ حکم نتیجه می‌شود.

نامساوی کوشی-شوارتز در دایره واحد صفحه اقلیدسی.

صفحه اقلیدسی (R²)

فضای برداری حقیقی ${ℝ}^2$، نشان دهنده صفحه دو بعدی است که در آن ضرب داخلی همان حاصل ضرب نقطه‌ای است. اگر $𝐯=(v_1,v_2)$ و $𝐮=(u_1,u_2)$ آنگاه نابرابری کوشی-شوارتز می شود:

$⟨𝐮,𝐯{⟩}^2=(\Vert 𝐮\Vert \Vert 𝐯\Vert \cos \theta {)}^2\le \Vert 𝐮{\Vert }^2\Vert 𝐯{\Vert }^2,$

که در آن θ، زاویه بین u و v است.

حالت بالا شاید ساده‌ترین شکل برای درک نابرابری باشد، زیرا مجذور کسینوس حداکثر می‌تواند ۱ باشد، که زمانی اتفاق می‌افتد که بردارها در یک جهت یا مخالف هم باشند. همچنین می توان آن را بر حسب مختصات برداری $u_1,u_2,v_1\text{و}{v}_2$ تنظیم کرد:

${(u_1{v}_1+u_2{v}_2)}^2\le (u_1^2+u_2^2)(v_1^2+v_2^2),$

که در آن تساوی برقرار است اگر و فقط اگر بردار $(u_1,u_2)$ در جهت یکسان یا مخالف $(v_1,v_2)$ باشد یا اگر یکی از آنها بردار صفر است.

فضای n-بعدی مختلط (Cⁿ)

اگر $x_1,\dots ,x_n\in ℂ$ و $y_1,\dots ,y_n\in ℂ$ اعداد مختلط دلخواه باشند، و نماد بار نشان‌دهندهٔ مزدوج مختلط باشد، نابرابری را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد:

$|x_1{\overline{y}}_1+\cdots +x_n{\overline{y}}_n{|}^2\le (|x_1{|}^2+\cdots +|x_n{|}^2)(|y_1{|}^2+\cdots +|y_n{|}^2).$

در R

$${\left(\sum _{i=1}^n{u}_i{v}_i\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{u}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{v}_i^2\right).$$

منابع

• محمد صال‌مصلحیان و فاطمه عبدالله‌زاده گنابادی، "بازنگاهی به نامساوی کوشی-شوارتس"، فرهنگ و اندیشۀ ریاضی سال ٣۶، شمارۀ ۶١ (پاییز و زمستان ١٣٩۶) صص. ٩٩ تا ١١۵