مشتق کل

در حساب دیفرانسیل و انتگرال، عبارت مشتق کل یا مشتق تام یا مشتق کامل برای چند مفهوم مختلف به‌کار می‌رود:

الگو:سخمشتق کل یک تابع $f$ با چندین متغیر، برای نمونه $t$، $x$، $y$ و... نسبت به یکی از متغیرهایش مانند $t$ با مشتق پاره‌ای آن ($\partial$) نسبت به آن متغیر متفاوت است. برای محاسبهٔ مشتق کل یک تابع $f$ نسبت به $t$، فرض نمی‌شود که متغیرهای دیگر ثابت‌اند در حالی‌که $t$ تغییر می‌کند. در عوض، اجازه داده می‌شود که متغیرهای دیگر هم به $t$ وابسته باشد. مشتق کل، این وابستگی‌های غیرمستقیم را هم در نظر می‌گیرد تا نشان‌دهندهٔ وابستگی کلی تابع $f$ نسبت به $t$ باشد. برای مثال، مشتق کل $f(t,x,y)$ نسبت به $t$ به‌صورت زیر محاسبه می‌شود:

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}.$

که به‌صورت زیر ساده می‌شود:

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}.$

با ضرب‌کردن رابطهٔ بالا در دیفرانسیل $\mathrm{d}t$:

$\mathrm{d}f=\frac{\partial f}{\partial t}\mathrm{d}t+\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y.$

نتیجه، تغییر جزئی $\mathrm{d}f$ در مقدار تابع $f$ خواهد بود. با توجه به اینکه تابع $f$ به متغیر $t$ وابسته است، بخشی از این تغییر ناشی از مشتق پاره‌ای $f$ نسبت به $t$ خواهد بود. با این حال، بخشی از این تغییر هم ناشی از مشتق‌های پاره‌ای تابع $f$ نسبت به متغیرهای $x$ و $y$ خواهد بود.

الگو:سخمشتق کل می‌تواند به یک عملگر دیفرانسیلی مانند عملگر زیر اشاره کند:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}=\frac{\partial }{\partial x}+\sum _{j=1}^k\frac{\mathrm{d}{y}_j}{\mathrm{d}x}\frac{\partial }{\partial y_j},$

که مشتق کل یک تابع را (در این مثال نسبت به $x$) محاسبه می‌کند.

• مشتق کل، می‌تواند به دیفرانسیل کامل $\mathrm{d}f$ یک تابع، چه در زبان سنتی مقادیر جزئی و چه در زبان مدرن فرم‌های دیفرانسیلی اشاره کند.

الگو:سخیک دیفرانسیل به فرم

$\sum _{j=1}^k{f}_j(x_1,\dots ,x_k)\mathrm{d}{x}_j$

مشتق کل یا مشتق دقیق نامیده می‌شود اگر دیفرانسیل یک تابع باشد. این هم می‌تواند به صورت مقادیر جزئی یا با استفاده از فرم‌های دیفرانسیلی و مشتق خارجی تعبیر شود.

الگو:سخ مشتق کل به‌عنوان نام دیگر مشتق به عنوان یک نگاشت خطی به‌کار می‌رود. به‌عنوان مثال، اگر $f$ یک تابع مشتق‌پذیر از ${ℝ}^n$ به ${ℝ}^m$ باشد، سپس مشتق کل $f$ در $x\in {ℝ}^n$، یک نگاشت خطی از ${ℝ}^n$ به ${ℝ}^m$ خواهد بود که ماتریس آن، ماتریس ژاکوبی $f$ در $x$ است.

الگو:سخ مشتق کل به‌عنوان مترادف گرادیان که مشتق یک تابع از ${ℝ}^n$ به $ℝ$ است، به‌کار می‌رود.

الگو:سخ مشتق کل، گاهی اوقات به‌عنوان مترادف مشتق مادی ($\frac{D𝐮}{Dt}$) در مکانیک شاره‌ها به‌کار می‌رود.