قاعده هوپیتال

مثال برای استفاده از قاعدهٔ هوپیتال الگو:Math و الگو:Math: تابع الگو:Math در الگو:Math, تعریف نشده است اما حد آن در این نقطه برابر است با الگو:Math.

قاعدهٔ هوپیتال یا لوپیتال الگو:به فرانسوی(الگو:IPA-fr) در حسابان، روشی است که با استفاده از آن می‌توان حد تابع را، در صورت وجود، در نقطه‌ای که مقدار آن

$\frac{0}{0}$

یا

$\frac{\pm \mathrm{\infty }}{\pm \mathrm{\infty }}$

است به دست آورد. به بیان دیگر، برای رفع ابهام یک کسر تعریف نشده از این قاعده بهره می‌گیرند.

پیشینه

یوهان برنولی قراردادی با گیوم دو لوپیتال امضا کرد که به موجب آن می‌بایست کشفیات خود در ریاضیات را برای او بفرستد. نتیجه این شد که مهم‌ترین سهم برنولی در ریاضیات امروزه به نام قاعدهٔ هاپیتال و یا با تلفظ فرانسوی آن، قاعدهٔ لوپیتال نامیده می‌شود.الگو:Citation needed

تعریف ریاضی

تابع کسری $h=\frac{f}{g}$ را در نظر بگیرید؛

اگر حدّ توابع $f$و $g$در نقطه‌ای مانند c صفر یا بی‌نهایت شود و در یک همسایگی محذوف c، تابع 'g هیچ کجا صفر نباشد و این توابع مشتق‌پذیر باشند،

می‌توان برای رفع ابهام، از صورت و مخرج تابع به طور جداگانه مشتق گرفته و سپس حد تابع جدید را در نقطه c محاسبه کنیم.

به بیان دیگر:

اگر الگو:وسط‌چین

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$

یا

الگو:وسط‌چین $\underset{x\to c}{\lim }g(x)=\pm \mathrm{\infty }$ الگو:پایان

آنگاه

$\underset{x\to c}{\lim }h(x)=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

به شرط آن که عبارت سمت راست، در *R تعریف شده باشد.

نمونه

$\begin{array}{cc}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{1}\\ & =1\end{array}$

یا

$\begin{array}{cc}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2}}\\ & =0\end{array}$

جستارهای وابسته

• شکل نامعلوم
• NaN
• حد
• مشتق
• حسابان

منابع

• Carl B. Boyer, A history of mathematics, 2nd edition, by John Wiley & Sons, Inc. , page 420, 1991