فنرهای سری و موازی

در مکانیک دو یا چند فنر زمانی به صورت سری هستند که پشت سر هم و به صورت متوالی بسته شوند و زمانی به صورت موازی هستند که در کنار هم به یک قطعه بسته شوند.

موازی		سری

به‌صورت کلی دو یا چند فنر وقتی در حالت سری هستند مقدار کرنش آن‌ها تحت یک بارگذاری واحد برابر مجموع کرنش‌های هر فنر به تنهایی تحت همان بارگذاری است؛ و همچنین در حالت موازی مقدار تنش وارده به مجموع فنرها تحت یک بارگذاری واحد برابر مجموع تنش‌های هر فنر به تنهایی تحت همان بارگذاری است.

هر نوع ترکیب فنرهای هوک (رفتار-خطی) به حالت سری و موازی مانند یک فنر هوک رفتار می‌کند. فرمول‌های مشخصات فیزیکی ترکیب فنرها مشابه خازنها در ترکیب سری و موازی، مدارهای الکتریکی است.

فرمولها

فنر معادل

جدول زیر مقدار ثابت فنر و دیگر متغیرهای مربوط به فنر را در حالتهای سری و موازی نشان می‌دهد.

تعداد	در حالت موازی	در حالت سری

ثابت فنر معادل	$k_{e q} = k_{1} + k_{2}$	$\frac{1}{k_{e q}} = \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}$
ضریب انعطاف‌پذیری معادل	$\frac{1}{c_{e q}} = \frac{1}{c_{1}} + \frac{1}{c_{2}}$	$c_{e q} = c_{1} + c_{2}$
تغییر شکل (طول)	$x_{e q} = x_{1} = x_{2}$	$x_{e q} = x_{1} + x_{2}$
نیرو	$F_{e q} = F_{1} + F_{2}$	$F_{e q} = F_{1} = F_{2}$
انرژی ذخیره شده	$E_{e q} = E_{1} + E_{2}$	$E_{e q} = E_{1} + E_{2}$

فرمولهای تفکیک

تعداد	در حالت موازی	در حالت سری

تغییر شکل (طول)	$x_{1} = x_{2}$	$\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{k_{2}}{k_{1}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$
نیرو	$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{k_{1}}{k_{2}} = \frac{c_{2}}{c_{1}}$	$F_{1} = F_{2}$
انرژی ذخیره شده	$\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{k_{1}}{k_{2}} = \frac{c_{2}}{c_{1}}$	$\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{k_{2}}{k_{1}} = \frac{c_{1}}{c_{2}}$

اثبات

ثابت فنر هم‌ارز (سری)

برای بدست آوردن ثابت فنر هم-ارز دو فنر سری

k_{e q}

، باید از روش هوشمندانه تری نسبت به حالت دو فنر موازی استفاده کرد.

اگر فرض کنیم میزان تغییر شکل در فنر هم‌ارز (که برابر است با موقعیت مکانی جرم انتهای فنرها) برابر با x_۲ باشد، برای بدست آوردن $k_{e q}$ نیاز داریم تا به رابطه‌ای مانند معادلهٔ زیر برسیم: الگو:چپ‌چین

F_{b} = - k_{e q} x_{2} .

الگو:پایان چپ‌چین همچنین فرض می‌کنیم که نقطهٔ پیوند میان دو فنر موقعیت x_۲ را داشته باشد؛ بنابراین نیروی وارده بر جرم انتهایی برابر است با: الگو:چپ‌چین

F_{b} = - k_{2} (x_{2} - x_{1}) . (1)

الگو:پایان چپ‌چین همچنین نیروی وارده بر محل پیوند میان دو فنر برابر خواهد بود با: الگو:چپ‌چین

F_{s} = - k_{1} x_{1} + k_{2} (x_{2} - x_{1}) .

الگو:پایان چپ‌چین وقتی که جرم هول داده می‌شود، فنرها فشرده می‌شوند، حال اگر جرم را رها کنیم کل سامانه اجازه پیدا می‌کند تا به حالت تعادل بازگردد وقتی سامانه به سمت تعادل یا نیروی صفر بازمی‌گردد به این معنی است که مجموع نیروهای فنرها برابر با صفر می‌شود. پس $F_{s} = 0$ می‌شود، برای بدست آوردن $x_{1}$ می‌نویسیم: الگو:چپ‌چین

- k_{1} x_{1} + k_{2} (x_{2} - x_{1}) = 0

- k_{1} x_{1} - k_{2} x_{1} = - k_{2} x_{2}

(k_{1} + k_{2}) x_{1} = k_{2} x_{2}

الگو:پایان چپ‌چین پس: الگو:چپ‌چین

x_{1} = \frac{k_{2}}{k_{1} + k_{2}} x_{2} .

الگو:پایان چپ‌چین مقدار بدست آمدهٔ $x_{1}$ را در رابطهٔ (۱) جایگزین می‌کنیم: الگو:چپ‌چین

$F_{b}$	$= - k_{2} x_{2} + k_{2} x_{1}$
	$= - k_{2} x_{2} + k_{2} (\frac{k_{2}}{k_{1} + k_{2}} x_{2})$
	$= - k_{2} x_{2} (\frac{k_{1} + k_{2}}{k_{1} + k_{2}}) + \frac{k_{2}^{2}}{k_{1} + k_{2}} x_{2}$
	$= x_{2} \frac{- k_{1} k_{2} - k_{2}^{2} + k_{2}^{2}}{k_{1} + k_{2}}$

الگو:پایان چپ‌چین به این ترتیب نیروی وارده به جرم بدست می‌آید: الگو:چپ‌چین

F_{b} = - (\frac{k_{1} k_{2}}{k_{1} + k_{2}}) x_{2} .

الگو:پایان چپ‌چین می‌توان گفت که عبارت داخل پرانتز ثابت فنر هم‌ارز این سامانه‌است: الگو:چپ‌چین

k_{e q} = \frac{k_{1} k_{2}}{k_{1} + k_{2}} .

الگو:پایان چپ‌چین عبارت بالا را بازنویسی می‌کنیم: الگو:چپ‌چین

\frac{1}{k_{e q}} = \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}} .

ثابت فنر هم‌ارز (موازی)

هر دوی فنرها به جرم موجود در سامانه بسته شده‌اند پس میزان تغییر شکل هر دو فنر با هم برابر است. نیروی وارده به جرم برابر خواهد بود با:

الگو:چپ‌چین

$F_{b}$	$= F_{1} + F_{2}$
	$= - k_{1} x - k_{2} x$

الگو:پایان چپ‌چین پس از فاکتورگیری خواهیم داشت: الگو:چپ‌چین

F_{b} = - (k_{1} + k_{2}) x .

الگو:پایان چپ‌چین می‌توان نتیجه گرفت که عبارت داخل پرانتز همان ثابت فنر هم‌ارز این سامانه‌است: الگو:چپ‌چین

k_{e q} = k_{1} + k_{2} .

الگو:پایان چپ‌چین

طول فشردگی

وقتی که دو فنر به صورت سری بسته شده باشند، اندازهٔ نیروی هر دو فنر با هم برابر است:

الگو:چپ‌چین

| F_{1} | = | F_{2} |

k_{1} x_{1} = k_{2} (x_{2} - x_{1}) .

الگو:پایان چپ‌چین x₁ میزان تغییر طول فنر یک، و x₂ - x₁ میزان تغییر طول فنر دو است. تعریف می‌کنیم: الگو:چپ‌چین

a_{1} = x_{1}

a_{2} = x_{2} - x_{1} .

الگو:پایان چپ‌چین عبارت‌های بالا را جایگزین می‌کنید:

\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{k_{2}}{k_{1}} .

انرژی ذخیره شده

نسبت انرژی ذخیره شده در دو فنر سری عبارت است از:

الگو:چپ‌چین

\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{\frac{1}{2} k_{1} a_{1}^{2}}{\frac{1}{2} k_{2} a_{2}^{2}},

الگو:پایان چپ‌چین پیش تر رابطهٔ میان a₁ و a₂ را بدست آورده بودیم که در رابطهٔ بالا جایگزین می‌کنیم: الگو:چپ‌چین

\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{k_{1}}{k_{2}} {(\frac{k_{2}}{k_{1}})}^{2} = \frac{k_{2}}{k_{1}} .

الگو:پایان چپ‌چین برای فنرهای موازی: الگو:چپ‌چین

\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{\frac{1}{2} k_{1} x^{2}}{\frac{1}{2} k_{2} x^{2}}

الگو:پایان چپ‌چین چون در فنرهای موازی، میزان فشردگی هر دو فنر با هم برابر است، x از دو طرف تساوی ساده می‌شود: الگو:چپ‌چین

\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{k_{1}}{k_{2}} .

الگو:پایان چپ‌چین

جستارهای وابسته

خرپا

منابع

الگو:پانویس ویکی‌پدیای انگلیسی

فنرهای سری و موازی

فهرست

فرمولها

فنر معادل

فرمولهای تفکیک

اثبات

جستارهای وابسته

منابع

منوی ناوبری

فنرهای سری و موازی

فرمولها

فنر معادل

فرمولهای تفکیک

اثبات

جستارهای وابسته

منابع

منوی ناوبری

جستجو