فرمول لایبنیتس برای دترمینان

در جبر، فرمولِ لایبنیتس، دترمینانِ یک ماتریس مربعی $A=(a_{ij}{)}_{i,j=1,\dots ,n}$ را نشان می‌دهد. فرمول به افتخارِ گوتفرید لایبنیتس ریاضی‌دانِ آلمانی نام‌گذاری شده‌است و عبارت است از:

$\det (A)=\sum _{\sigma \in S_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{i,\sigma (i)}$

برایِ یک ماتریسِ n×n که sgn تابع علامتِ مخصوصِ جایگشت‌ها در گروه جایگشت‌هایِ S_n است که مقدارِ +۱ یا -۱ را به ترتیب برایِ جایگشت‌های زوج یا جایگشت‌هایِ فرد برمی‌گرداند.

یک شیوه‌ی رایج دیگر از نشان‌گذاری آن، استفاده از نماد لوی-چیویتا است که با قرارداد جمع‌زنی اینشتین به رابطه‌ی زیر تبدیل می‌شود:

$\det (A)={ϵ}^{i_1\cdots i_n}{A}_{1i_1}\cdots A_{n{i}_n},$

که در بین فیزیک‌دانان کاربرد بیشتری دارد.

اثبات

قضیه تنها یک تابع چون

$F:{𝔐}_n(𝕂)⟶𝕂$

وجود دارد که پادمتقارن است، نسبت به ستون‌ها خطی است و مقدار آن به ازایِ ماتریس همانی برابر است با ۱: $F(I)=1$.

یکتایی: فرض می‌کنیم که $F$ چنین تابعی باشد و قرار می‌دهیم $A=(a_i^j{)}_{i=1,\dots ,n}^{j=1,\dots ,n}$ که یک ماتریسِ $n\times n$ است. $A^j$ را به عنوانِ $j$ام از ماتریسِ $A$ می‌خوانیم به عنوان مثال $A^j=(a_i^j{)}_{i=1,\dots ,n}$. بنابراین داریم: $A=(A^1,\dots ,A^n).$

هم‌چنین قرارداد می‌کنیم که $E^k$ ستونِ $k$ام از ماتریسِ یکه را نشان دهد.

حال می‌توانیم هر یک از ستون‌هایِ $A^j$را بر حسب $E^k$ نمایش دهیم:

$A^j=\sum _{k=1}^n{a}_k^j{E}^k$.

از آن‌جا که $F$ خطی است داریم:

$\begin{array}{cc}F(A)& =F(\sum _{k_1=1}^n{a}_{k_1}^1{E}^{k_1},A^2,\dots ,A^n)\\ & =\sum _{k_1=1}^n{a}_{k_1}^{1}F(E^{k_1},A^2,\dots ,A^n)\\ & =\sum _{k_1=1}^n{a}_{k_1}^1\sum _{k_2=1}^n{a}_{k_2}^{2}F(E^{k_1},E^{k_2},A^3,\dots ,A^n)\\ & =\sum _{k_1,k_2=1}^n\left(\prod _{i=1}^2{a}_{k_i}^i\right)F(E^{k_1},E^{k_2},A^3,\dots ,A^n)\\ & =\cdots \\ & =\sum _{k_1,\dots ,k_n=1}^n\left(\prod _{i=1}^n{a}_{k_i}^i\right)F(E^{k_1},\dots ,E^{k_n}).\end{array}$

از پادمتقارن بودن ماتریس نتیجه می‌گیریم که اگر $k_1=k_2$ آن‌گاه:

$\begin{array}{c}\\ F(\dots ,E^{k_1},\dots ,E^{k_2},\dots )& =-F(\dots ,E^{k_2},\dots ,E^{k_1},\dots )\\ F(\dots ,E^{k_1},\dots ,E^{k_2},\dots )& =-F(\dots ,E^{k_1},\dots ,E^{k_2},\dots )\\ F(\dots ,E^{k_1},\dots ,E^{k_2},\dots )& =0\end{array}$

As the above sum takes into account all the possible choices of ordered $n$-tuples $(k_1,\dots ,k_n)$، and because $k_{i_1}=k_{i_2}$ implies that F is zero, the sum can be reduced from all tuples to جایگشت as

$\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\left(\prod _{i=1}^n{a}_{\sigma (i)}^i\right)F(E^{\sigma (1)},\dots ,E^{\sigma (n)}).$

Because F is alternating, the columns $E$ can be swapped until it becomes the identity. The sign function $\mathrm{sgn}(\sigma )$ is defined to count the number of swaps necessary and account for the resulting sign change. One finally gets:

$\begin{array}{cc}F(A)& =\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1}^n{a}_{\sigma (i)}^i\right)F(I)\\ & =\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{\sigma (i)}^i\end{array}$

as $F(I)$ is required to be equal to $1$.

Therefore no function besides the function defined by the Leibniz Formula is a multilinear alternating function with $F\left(I\right)=1$.

Existence: We now show that F, where F is the function defined by the Leibniz formula, has these three properties.

Multilinear:

$\begin{array}{cc}F(A^0,\dots ,c{A}^j,\dots )& =\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\mathrm{sgn}(\sigma )c{a}_{\sigma (j)}^j\prod _{i=1,i\ne j}^n{a}_{\sigma (i)}^i\\ & =c\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\mathrm{sgn}(\sigma )a_{\sigma (j)}^j\prod _{i=1,i\ne j}^n{a}_{\sigma (i)}^i\\ & =cF(A^0,\dots ,A^j,\dots )\\ \\ F(A^0,\dots ,b+A^j,\dots )& =\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\mathrm{sgn}(\sigma )(b_j+a_{\sigma (j)}^j)\prod _{i=1,i\ne j}^n{a}_{\sigma (i)}^i\\ & =\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\mathrm{sgn}(\sigma )(\left(b_j\prod _{i=1,i\ne j}^n{a}_{\sigma (i)}^i\right)+\left(a_{\sigma (j)}^j\prod _{i=1,i\ne j}^n{a}_{\sigma (i)}^i\right))\\ & =(\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\mathrm{sgn}(\sigma )b_j\prod _{i=1,i\ne j}^n{a}_{\sigma (i)}^i)+(\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{a}_{\sigma (i)}^i)\\ & =F(A^0,\dots ,b,\dots )+F(A^0,\dots ,A^j,\dots )\\ \\ \end{array}$

Alternating:

$\begin{array}{cc}F(\dots ,A^{j_1},\dots ,A^{j_2},\dots )& =\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\left(\prod _{i=1,i\ne j_1,i\ne j_2}^n{a}_{\sigma (i)}^i\right)a_{\sigma (j_1)}^{j_1}{a}_{\sigma (j_2)}^{j_2}\\ \end{array}$

Now let $\omega$ be the tuple equal to $\sigma$ with the $j_1$ and $j_2$ indices switched. It follows from the definition of $\mathrm{sgn}$ that $\mathrm{sgn}(\sigma )=-sgn(\omega )$.

$\begin{array}{c}\\ F(\dots ,A^{j_1},\dots ,A^{j_2},\dots )& =\sum _{\omega \in {𝔖}_n}-\mathrm{sgn}(\omega )\left(\prod _{i=1,i\ne j_1,i\ne j_2}^n{a}_{\omega (i)}^i\right)a_{\omega (j_1)}^{j_1}{a}_{\omega (j_2)}^{j_2}\\ & =-F(\dots ,A^{j_2},\dots ,A^{j_1},\dots )\\ \\ \end{array}$

Finally، $F(I)=1$:

$\begin{array}{c}\\ F(I)& =\sum _{\sigma \in {𝔖}_n}\mathrm{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{I}_{\sigma (i)}^i\\ & =\sum _{\sigma =(1,2,\dots ,n)}\prod _{i=1}^n{I}_i^i\\ & =1\end{array}$

Thus the only functions which are multilinear alternating with $F(I)=1$ are restricted to the function defined by the Leibniz formula, and it in fact also has these three properties. Hence the determinant can be defined as the only function

$\det :{𝔐}_n(𝕂)⟶𝕂$

with these three properties.

منابع

• الگو:Springer
• Lloyd N. Trefethen and David Bau، Numerical Linear Algebra (SIAM، 1997).