فاکتوریل‌های صعودی و نزولی

الگو:Short description در ریاضیات، فاکتوریل نزولی، الگو:انگلیسی (اسامی دیگر فاکتوری سقوط کننده، ضرب دنباله‌ای سقوط‌کننده، یا فاکتوریل تحتانی) به صورت این چندجمله‌ای تعریف می‌گردد: الگو:وسط‌چین $(x{)}_n=x^{\underset{\_}{n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)=\prod _{k=1}^n(x-k+1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x-k).$ الگو:پایان وسط‌چین همچنین فاکتوریل صعودی الگو:انگلیسی (نام‌های دیگر: فاکتوریل بالارونده، چندجمله‌ای پوکهامر، فاکتوریل بالارونده، ضرب دنباله‌ای بالارونده، یا فاکتوریل فوقانی) نیز به این صورت تعریف می‌گردد: الگو:وسط‌چین $x^{(n)}=x^{\bar{n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)=\prod _{k=1}^n(x+k-1)=\prod _{k=0}^{n-1}(x+k).$ الگو:پایان وسط‌چین هرگاه $n=0$ باشد (حاصلضرب تهی)، مقدار هرکدام از این فاکتوریل‌ها را ۱ فرض می‌کنند. این نمادها را جمعاً توان‌های فاکتوریل می‌نامند.

نماد پوکهامر (Pochhammer Symbol) که توسط لئو آگوست پوکهامر معرفی شد، دارای نماد $(x{)}_n$ بوده که در آن n عدد صحیح نامنفی است. ممکن است این نماد در کتب و مقالات مؤلفان مختلف، بسته به قراردادهای بکار رفته توسط آن‌ها، در مواردی نمایانگر فاکتوریل نزولی، و در موارد دیگر نمایانگر فاکتوریل صعودی باشد. در حقیقت خود پوکهامر از این نماد برای معنای دیگری، یعنی ضریب دوجمله‌ای $(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{n})$ استفاده نمود.

در این مقاله، نماد $(x{)}_n$ را جهت نمایش فاکتوریل نزولی و نماد $x^{(n)}$ را جهت نمایش فاکتوریل صعودی به کار می‌بریم. این قراردادها در ترکیبیات استفاده شده‌اند، گرچه نمادگذاری دونالد کنوث، یعنی $x^{\underset{\_}{n}},x^{\bar{n}}$ برای این اشیاء ریاضیاتی به‌طور فزاینده ای در حال معروف شدن می‌باشند. در نظریه توابع خاص (به خصوص توابع فوق‌هندسی) و در مرجع استاندارد Aabramowitz and Stegun، از نماد پوکهامر $(x{)}_n$ جهت نمایش فاکتوریل صعودی استفاده شده‌است.

هنگامی که x عدد صحیح مثبتی باشد، $(x{)}_n$ تعداد n-جایگشت‌های یک مجموعه x عضوی را می‌دهد، یا به‌طور معادل تعداد توابع یک‌به‌یک از مجموعه‌ای به اندازه n به مجموعه‌ای به اندازه x. همچنین، $(x{)}_n$ «تعداد طرقی است که n پرچم را می‌توان در x سوراخ پرچم» آرایش داد، به طوری که تمام پرچم‌ها باید استفاده شود و هر سوراخ پرچم می‌تواند حداکثر یک پرچم داشته باشد.

ارجاعات

• الگو:یادکرد-ویکی

پیوند به بیرون

• الگو:MathWorld
• Elementary Proofs