حلقه صحیح‌ها

الگو:اشتباه نشود در ریاضیات، حلقه صحیح‌ها الگو:انگلیسی از یک میدان عددی چون $K$ ، حلقه صحیح‌های جبری عضو $K$ اند.الگو:Sfn یک عنصر صحیح جبری، ریشه‌ای از چندجمله‌ای تکین (چندجمله‌ای تک‌متغیره با ضریب پیشروی ۱) با ضرایب اعداد صحیح است: $x^{n} + c_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + c_{0}$ .الگو:Sfn این حلقه را اغلب با نمادهای $O_{K}$ یا $𝒪_{K}$ نشان می‌دهند. از آنجا که هر عدد صحیح به $K$ متعلق بوده و عنصر صحیحی از $K$ است، حلقه $ℤ$ نیز همیشه زیرحلقه‌ای از $O_{K}$ است.

حلقه اعداد صحیح $ℤ$ ساده‌ترین حلقه ممکن از صحیح‌ها است.الگو:Efn در حقیقت $ℤ = O_{ℚ}$ که در آن $ℚ$ میدان اعداد گویا است.الگو:Sfn و بر همین اساس در نظریه جبری اعداد برخی مواقع به عناصر $ℤ$ «صحیح‌های گویا» نیز گفته می‌شود.

ساده‌ترین مثال بعدی، حلقه صحیح‌های گاوسی $ℤ [i]$ است که شامل اعداد مختلطی است که بخش حقیقی و موهومی آن اعداد صحیح می‌باشد. این حلقه، حلقه صحیح‌های میدان عددی $ℚ (i)$ از اعداد مختلطی است که بخش‌های موهومی و حقیقی آن عضو اعداد گویا اند. این حلقه نیز همچون صحیح‌های گویا، یک حوزه اقلیدسی است.

حلقه صحیح‌ها از یک میدان عددی، مرتبه الگو:Efn ماکسیمال یکتایی از آن میدان است. همچنین این حلقه همیشه حوزه ددکیند است.الگو:Sfn

ویژگی ها

حلقه اعداد صحیح OK یک ماژول Z است که به طور متناهی تولید شده است. در واقع، این یک ماژول Z آزاد است، و بنابراین دارای یک پایه انتگرال است، که مبنای b1، ...، bn ∈ OK فضای Q-بردار K است، به طوری که هر عنصر x در OK را می توان به صورت منحصر به فرد نشان داد.

با ai ∈ Z.[5] رتبه n OK به عنوان یک ماژول Z آزاد برابر با درجه K بر Q است.^[۱]