حد (ریاضی)

در ریاضیات، حد (به انگلیسی: Limit)، مقداری است که یک تابع (یا دنباله) با نزدیک شدن ورودی (یا اندیس) به مقداری، به آن نزدیک می‌شود. حد، یک مفهوم اساسی در حسابان و در حالت کلی، در آنالیز ریاضی است و در تعریف پیوستگی، مشتق و انتگرال کاربرد دارد. حد، رفتار یک تابع را بیان می‌کند. در واقع، رفتار آن را در نقاط روی صفحه یا در بی‌نهایت ارزیابی می‌کند.

مفهوم حد یک دنباله، درحالت کلی‌تر، به مفهوم یک شبکه توپولوژیک، تعمیم داده می‌شود، که ارتباط نزدیکی با حد و حد مستقیم در نظریهٔ رده‌ها دارد.

ریاضی‌دانان پیش‌ازآن‌که مفهوم دقیق‌ حد را به‌دست دهند، دربارهٔ آن، مجادله‌ بسیار کرده‌اند. یونانی‌ها در عصر باستان درکی از مفهوم حد داشته‌اند. برای نمونه، ارشمیدس مقدار تقریبی محیط دایره را با استفاده از محیط چندضلعی‌های منتظم محاط در دایره‌ای به شعاع یک، وقتی که تعداد اضلاع، بی‌کران افزایش می‌یابد، به‌دست آورد. در قرون وسطی نیز تا دورهٔ رنسانس، مفهوم حد برای به‌دست‌آوردن مساحت شکل‌های گوناگون به‌کار گرفته می‌شد.

در نوشتار ریاضی، حد را گاهی با lim نمایش می‌دهند، مانند lim (a_n) = a، گاهی با یک پیکان رو به‌راست (→)، مانند a_n → a و گاهی هم به فارسی حد می‌نویسند.

حد تابع

الگو:نوشتار اصلی − الگو:Double image برای تابع حقیقی f(x)الگو:چر و عدد حقیقی c، عبارت الگو:چپ‌چین

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$

الگو:پایان چپ‌چین بدین معناست که اگر x به‌اندازهٔ کافی به c نزدیک شود، f(x)الگو:چر به‌اندازهٔ دل‌خواه به الگو:Math نزدیک خواهد شد. رابطهٔ ریاضی بالا چنین خوانده‌ می‌شود: «حد الگو:Math از الگو:Math هنگامی که الگو:Math به الگو:Math نزدیک می‌شود برابر الگو:Math است.»

کوشی، ۱۸۲۱ میلادی، و به‌دنبال او، کارل وایراشتراس، تعریفی که در بالا برای حد داده‌شد را به زبان ریاضی‌ بیان کردند، که در سدهٔ ۱۹ میلادی با نام «تعریف (ε, δ) حد» شناخته شد. آن‌ها در این تعریف، از اپسیلون، ε، برای نشان دادن یک مقدار مثبت بسیار کوچک بهره بردند. هنگامی که «الگو:Math به‌اندازهٔ دلخواه به الگو:Math نزدیک می‌شود» به این معنی است که مقدار الگو:Math کم‌کم در بازهٔ الگو:Math جای می‌گیرد. با کمک قدر مطلق چنین می‌نویسیم: الگو:Math.الگو:سخعبارت «هنگامی که الگو:Math به‌اندازهٔ کافی به الگو:Math نزدیک می‌شود» به این معنی است که مقدارهای حقیقی از الگو:Math را در نظر داریم که فاصلهٔ آن‌ها از الگو:Math کمتر از عدد مثبت دلتا، δ باشد؛ یعنی الگو:Math عضو یکی از دو بازهٔ الگو:Math یا الگو:Math است، نوشتار ریاضی این عبارت چنین است: الگو:Math. نامساوی نخست یعنی فاصلهٔ میان الگو:Math و الگو:Math بیشتر از صفر است و الگو:Math است در حالی که نامساوی دوم می‌گوید فاصلهٔ الگو:Math از الگو:Math کمتر از الگو:Math است.

تعریف بالا برای حد می‌تواند درست باشد حتی اگر $f(c)\ne L$ باشد؛ حتی لازم نیست که الگو:Math در الگو:Math تعریف شده‌باشد.

برای نمونه، اگر:

$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$

آنگاه الگو:عبارت چپچین تعریف نشده‌است (بخش بر صفر)؛ هر چه الگو:Math به ۱ نزدیک می‌شود، الگو:Math متناسب با آن نیز به ۲ نزدیک می‌شود: الگو:چپ‌چین

f(۰٫۹)	f(۰٫۹۹)	f(۰٫۹۹۹)	f(۱٫۰)	f(۱٫۰۰۱)	f(۱٫۰۱)	f(۱٫۱)
۱٫۹۰۰	۱٫۹۹۰	۱٫۹۹۹	⇒ تعریف نشده ⇐	۲٫۰۰۱	۲٫۰۱۰	۲٫۱۰۰

بنابراین، الگو:Math به ۲ نزدیک می‌شود، هرگاه بتوان الگو:Math را به‌اندازهٔ کافی به ۱ نزدیک کرد.

به عبارت دیگر، $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=2$

یک تابع، افزون‌بر داشتن حد در مقدارهای معین، می‌تواند در بی‌نهایت هم دارای حد باشد. برای نمونه:

$f(x)=\frac{2x-1}{x}$

• f(۱۰۰) = ۱٫۹۹۰۰
• f(۱۰۰۰) = ۱٫۹۹۹۰
• f(۱۰۰۰۰) = ۱٫۹۹۹۹۰

الگو:پایان چپ‌چین هرگاه الگو:Math مقدارهای بی‌نهایت بزرگ به خود گیرد، مقدار الگو:Math به سوی ۲ کشیده می‌شود. در این حالت، حد الگو:Math به ازای الگو:Mathهای رو به بی‌نهایت، برابر ۲ است. بیان ریاضی این گفته چنین است:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2x-1}{x}=2.$

اثبات

این روش، به اثبات اپسیلون و دلتا مشهور است که نخستین بار، ریاضی‌دان آلمانی، کارل وایرشتراس پیش‌ نهاد.الگو:مدرک

با آن، حد چنین تعریف می‌شود:

پرونده:Epsilondelta.jpg

$f(x)$ در $x_0$ دارای حد $L$ است، اگر به‌ازای هر عدد مثبت $ϵ$، عدد مثبت $\delta$ باشد، به‌طوری‌که اگر $0<|x-x_0|<\delta$، آنگاه$|f(x)-L|<ϵ$.

به عبارت دیگر، برای هر $\epsilon >0$ یک $\delta >0$ باشد، که برای هر $x$ در$|x-x_0|<\delta$، چنین شود: $|f(x)-L|<\epsilon$.

در تعریف غیرصوری، باید گفت حد تابع $f(x)$ ،$L$ است اگر وقتی $x\to a$، $f(x)$ به حد $L$ نزدیک بشود، یا $f(x)$ در $a$ دارای حد $L$ است، اگر هنگامی‌که $x$ به $a$ میل می‌کند، $f(x)$ به $L$ نزدیک شود.

مثال

اثبات $\underset{x\to 0}{\lim }\sqrt{x}=0$ :

برای هر $\epsilon >0$ یک $\delta >0$ هست که:

$|\sqrt{x}-0|<\epsilon$ اگر $0<x<\delta$

یا $\sqrt{x}<\epsilon$ اگر $0<x<\delta$

با استفاده از مربع (مجذور)، می‌توان آن را چنین نوشت:

$x<{ϵ}^2$ اگر $0<x<\delta$

بنابراین $\delta \le {ϵ}^2$

و این $\underset{x\to 0}{\lim }\sqrt{x}=0$ را ثابت می‌کند.

حد یک دنباله

الگو:نوشتار اصلی با فرض الگو:عبارت چپچین دنباله‌ای از عددهای حقیقی، می‌توان گفت عدد حقیقی الگو:Math حد این دنباله‌است هرگاه

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=L$

یعنی

به‌ازای هر عدد حقیقی الگو:عبارت چپچین می‌توان یک عدد طبیعی الگو:عبارت چپچین یافت، به‌گونه‌ای‌که برای همه الگو:عبارت چپچین آنگاه الگو:عبارت چپچین.

عبارت بالا بدان معنا است که همهٔ عضوهای دنباله به حد دنباله نزدیک می‌شوند چون عبارت قدر مطلقی الگو:عبارت چپچین برابر است با فاصلهٔ میان الگو:عبارت چپچین و الگو:Math.

برای نمونه، دنبالهٔ الگو:عبارت چپچین، به ۱٫۸ نزدیک می‌شود. پس ۱٫۸ حد این دنباله‌است.

همهٔ دنباله‌ها، حد ندارند. اگر دنباله‌ای حد داشت به آن دنباله هم‌گرا و اگر نداشت، واگرا می‌گویند. می‌توان نشان داد که دنباله‌های هم‌گرا، حد یکتا دارند.

حد یک دنباله و حد یک تابع رابطهٔ نزدیکی با هم دارند.

جستارهای وابسته

• قاعده هوپیتال
• پیوستگی تابع
• مشتق
• انتگرال
• حد مستقیم
• حد معکوس
• حد تابع
• حد یک-طرفه
• فهرست حدها

منابع

• Carl B. Boyer, A history of mathematics, 2nd edition, by John Wiley & Sons, Inc. , 1991