جسم افلاطونی

در هندسه فضایی، چندوجهی‌های منتظمِ محدب به جسم افلاطونی موسومند. می‌توان نشان داد که در فضای سه‌بعدی تنها پنج جسم افلاطونی هست، که عبارتند از:

1. چهاروجهی منتظم، متشکل از چهار مثلث متساوی‌الاضلاع،
2. شش‌وجهی منتظم (مکعب)، متشکل از شش مربع،
3. هشت‌وجهی منتظم، متشکل از هشت مثلث متساوی‌الاضلاع،
4. دوازده‌وجهی منتظم، متشکل از دوازده پنج‌ضلعی منتظم،
5. بیست‌وجهی منتظم، متشکل از بیست مثلث متساوی‌الاضلاع.

وجه‌های هر کدام از این چندوجهی‌ها چندضلعی‌هایی منتظم و هم‌نهشتند و تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر رأس آنان به یکدیگر می‌رسند. شش‌وجهی منتظم (مکعب) با هشت‌وجهی منتظم، دوازده‌وجهی منتظم با بیست‌وجهی منتظم، و چهاروجهی منتظم با خودش مزدوجند؛ یعنی با وصل کردن نقطهٔ وسط وجه‌های یکی می‌توان دیگری را ساخت. همچنین در ساخت دوازده‌وجهی منتظم و بیست‌وجهی منتظم نسبت طلایی پدید می‌آید.

عنوان این چندوجهی‌ها از نام افلاطون، فیلسوف یونانی، گرفته شده‌است که در نقل داستان آفرینش در دیالوگ تیمائوس، این چندوجهی‌ها را به عناصر تشکیل‌دهندهٔ گیتی نسبت می‌دهد. اقلیدس، فیثاغوری‌ها، و ابوالوفا بوزجانی نیز در باب اجسام افلاطونی پژوهش کرده‌اند. ستاره‌شناس آلمانی یوهانس کپلر هم هندسهٔ جهان را بر اساس اجسام افلاطونی می‌دانست و از ویژگی‌های آنان در وضع قوانین کپلر بهره برد. اجسام افلاطونی در آثار هنرمندانی چون موریس اشر و سالوادور دالی خودنمایی می‌کنند و در طبیعت نیز می‌توان آنان را در ساختارهای بلوری و هیبت برخی تک‌یاختگان و ویروس‌ها یافت.

تاریخ

تقارن و زیبایی اجسام افلاطونی الهام‌بخش معماران، هنرمندان، و صنعتگران از مصر باستان تا کنون بوده‌است، و ویژگی‌های آنها پژوهشگران را از روزگار افلاطون تا رنسانس به‌خود مشغول داشته بود. یافته‌های باستان‌شناختی از ۴٬۰۰۰ سال پیش در اسکاتلند هم شامل نقش‌هایی حک‌شده در سنگ از اجسام افلاطونی است.

یونان باستان

ساختار هندسی عناصر هستی به گفتهٔ افلاطون

چهاروجهی	آتش
مکعب	خاک
هشت‌وجهی	هوا
دوازده‌وجهی	اثیر
بیست‌وجهی	آب

نخستین مطالعهٔ نظام‌مند دربارهٔ اجسام افلاطونی را فیثاغوری‌های یونان باستان انجام دادند. ایشان بر این باور بودند که پنج جسم افلاطونی متناظر با ساختار عناصر چهارگانهٔ سازنده جهان هستند، یعنی چهاروجهی منتظم با نوک‌های تیز متناظر آتش، مکعبِ استوار متناظر خاک، و دو چندوجهی منتظم ساخته‌شده از مثلث دیگر (هشت‌وجهی منتظم و بیست‌وجهی منتظم) متناظر هوا و آب هستند. به باور ایشان دوازده‌وجهی منتظم نیز به شکلی مرموز نمایانگر کل هستی و ۱۲ صورت فلکی‌اش بود. خود فیثاغورث (حدود ۵۸۰ تا ۵۰۰ پ.م.) احتمالاً چهاروجهی منتظم، مکعب، و دوازده‌وجهی منتظم را می‌شناخت. او ۲۰ سال را در مصر گذرانده بود و احتمالاً این اطلاعات را آنجا آموخته بود.

تحلیل ویژگی‌های اجسام افلاطونی و اثبات اینکه تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد نقطهٔ اوج کتاب پایانی اصول اقلیدس (حدود ۳۰۰ پ.م.) است. به نوشتهٔ اقلیدس، اولین کسی که هشت‌وجهی و بیست‌وجهی منتظم را شرح داد تئائتتوس ریاضی‌دان آتنی و دوست افلاطون (حدود ۴۱۷–۳۶۹ پ.م.) بود. از آنجا که افلاطون (۴۲۸/۴۲۷–۳۴۸/۳۴۷ پ.م.) نظریات فیثاغوری‌ها را در «داستان آفرینش» در دیالوگ تیمائوس تکرار کرده است، نام «جسم افلاطونی» به چندوجهی‌های منتظم اطلاق گردید. افلاطون مانند فیثاغوری‌ها چهار تا از اجسام افلاطونی را به عناصر چهارگانه نسبت می‌داد. به نوشتهٔ او: الگو:گفتاورد افلاطون در این نوشته از دوازده‌وجهی منتظم به سرعت می‌گذرد و تنها جمله‌ای که دربارهٔ آن بیان می‌دارد این است که «خدا آن را در آفرینش کل جهان به کار برده‌است.» مفسران افلاطون دوازده‌وجهی را با دوازده برج منطقةالبروج مرتبط دانسته‌اند. افلاطون پس از بیان ساختار هر یک از عناصر چهارگانه، دربارهٔ تبدیل آنها به یکدیگر بحث می‌کند. به باور او خاک قابل تبدیل به عناصر دیگر نیست، چرا که از مربع ساخته شده، ولی آب و آتش و هوا را، که از مثلث ساخته شده‌اند، می‌توان با تناسبی خاص به یکدیگر تبدیل کرد. افلاطون باور داشت این اجسام سایه یا بازتابی از جهان واقع هستند؛ بااین‌حال به گفتهٔ کَرِن فرنچالگو:یادچپ آرای افلاطون را باید علاوه بر رویکرد تحت‌اللفظی، با رویکردی متافیزیکی نیز بررسی کرد.

قرون وسطی

تصویر یک بیست‌وجهی منتظم در کتاب در باب تناسب الهی اثر لئوناردو دا وینچی

ابوالوفا محمد بوزجانی (۳۲۸–۳۸۸ ه‍.ق.) هم در مطالعهٔ اجسام افلاطونی به کمک دوایر عظیمهٔ کره به طرح و ترسیم اجسام افلاطونی پرداخت و به دنبال آن به تجسم و ترسیم آثاری نو دست زد. در برابر پنج جسم افلاطونی که هریک از یک نوع چند ضلعی منتظم مانند مثلث، مربع یا پنج‌ضلعی تشکیل شده‌است، بوزجانی از پنج ترکیب کروی نام می‌برد که از ترکیب چندضلعی‌های منتظم تشکیل شده‌اند. پژوهش‌های بوزجانی غالباً متمرکز بر هندسهٔ ترسیمی بود، که مناسب کار صنعتگران و هنرمندان است. از جملهٔ مساعی او می‌توان به کتاب الگو:عبارت عربیالگو:یاد اشاره کرد که با استفاده از ویژگی‌های اجسام افلاطونی و ارشمیدسی، روشی برای ترسیم اشکال سادهٔ هندسی به‌صورت ترکیبی (یا موزاییک‌کاری) برای پوشاندن کره به دست می‌دهد که در گنبدها و سقف‌های پیچیده معماری اسلامی به کار می‌رود. از نکات قابل توجه در کتاب بوزجانی این است که او ترسیم‌هایش را به شکل گسترده ارائه کرده‌است تا خواننده با تخیل خود بتواند آن‌ها را به شکل سه‌بعدی ببیند. به گفتهٔ گلرو نجیب‌اوغلو، تفاوت رویکرد افلاطون و بوزجانی در این است که «اگر در اجسام افلاطونی وحدت ترکیب بر تکرار یکدست یک نوع چند ضلعی منتظم مانند مثلث متساوی‌الاضلاع، مربع و پنج‌ضلعی منتظم بر بدنهٔ کره قرار دارد، در اجسامی که بوزجانی بیان کرده وحدت شکلی بر توافق پی‌درپی دو نوع چندضلعی منتظم استوار است.»

رنسانس و قرون جدید

هنرمندان دوران رنسانس به‌منظور بررسی ویژگی‌های پرسپکتیو در آثارشان به‌شکلی گسترده از اجسام افلاطونی بهره می‌بردند، که نمونهٔ آن‌ها را می‌توان در موزائیک معروف پائولو آچلو (۱۳۹۷-۱۴۷۵ م.) در کلیسای جامع سینت مارکو در ونیز دید. همچنین لئوناردو دا وینچی (۱۴۵۲-۱۵۱۹ م.) در تذهیب‌هایش برای کتاب در باب تناسب الهی اثر لوکا پاچیولی اجسام افلاطونی را ترسیم و ویژگی‌های آنان (مانند نسبت طلایی) را بررسی کرده‌است.

تصور یوهانس کپلر از منظومه شمسی، تشکیل‌شده از اجسام افلاطونی از رموز جهان (۱۵۹۶)

کیهان‌شناسی افلاطون در تیمائوس راهنمای مهم یوهانس کپلر (۱۵۷۱–۱۶۳۰ م.) در وضع قوانین کپلر بود. کپلر در مدلش، ایدهٔ استفاده از جسم‌های افلاطونی برای تشریح هندسهٔ جهان را احیا کرد. او اجسام افلاطونی را نه به‌عنوان شکل طبیعت و تعداد عناصر بلکه به عنوان مدلی از ساختار منظومهٔ شمسی می‌دانست. کپلر در سال ۱۵۹۶ م. در کتاب رموز جهان هر کدام از شش سیارهٔ شناخته‌شده در آن زمان را به‌گونه‌ای نشان داد که روی سطح کره‌هایی هم‌ مرکز و جداشده با پنج جسم افلاطونی دور خورشید می‌گردند. هدف کپلر در واقع این بود که فاصلهٔ میان سیاره‌ها را با استفاده از اجسام افلاطونی توصیف کند. او دریافت اگر کره‌ها و اجسام افلاطونی را به صورت یکی داخل دیگری قرار دهد، نسبت فواصل کره‌ها از مرکز مدلش در مقایسه به شکلی «بسیار خوب» بر نسبت فواصل سیارات از خورشید منطبق می‌شود. کپلر بر آن بود که توانسته قانون بنیادی طبیعت را کشف کند. به نوشتهٔ آرتور کستلر: الگو:گفتاورد

تیکو براهه (۱۵۴۶–۱۶۰۱ م.) نظریات کپلر را دربارهٔ شکل منظومهٔ شمسی رد کرد و کپلر را دعوت کرد که به رصدخانهٔ او در پراگ برود. کپلر، در تلاش برای حل ناهماهنگی بین مدلش از هستی و مشاهدات براهه، به این کشف مهم نایل شد که سیارات در مداری بیضوی و نه مدور به دور خورشید می‌گردند.

در تاریخ معاصر

پرونده:Dali - The Sacrament of the Last Supper - lowres.jpg

دوازده‌وجهی خالی‌ در تقدیس شام آخر اثر سالوادور دالی

موریس اِشرِ هلندی (۱۸۹۸-۱۹۷۲ م.) از اشکال خالص اجسام افلاطونی در آثارش به‌صورت گسترده استفاده کرده‌است. برای مثال اثر حکاکی روی چوب الگو:Ill ترکیبی از مکعب‌ها و هشت‌وجهی‌ها را به تصویر می‌کشد که آفتاب‌پرست‌هایی را محیط کرده‌اند. اشر در اثر دیگری با عنوان الگو:Ill از یک دوازده‌وجهی به‌عنوان نماد آسمان بهره می‌برد. شیفتگی اشر نسبت به اجسام افلاطونی تا حدی بود که تنها چیزی که پس از نقل مکان از کارگاهش با خود برد مجموعه‌ای درهم‌رفته از اجسام افلاطونی بود. نقاش اسپانیایی سالوادور دالی (۱۹۰۴-۱۹۸۹ م.) نیز شیفتهٔ اجسام افلاطونی بود. در الگو:Ill دالی صلیبی را مشتمل بر هشت مکعب به تصویر می‌کشد و در الگو:Ill دوازده‌وجهی خالی‌ای (که نماد «خدا» است) بر فراز سر مسیح و حواریونش قرار دارد. برونو موناری (۱۹۰۷-۱۹۹۸ م.) نیز مساعی گسترده‌ای در طراحی صنعتی با استفاده از شکل اجسام افلاطونی کرده‌است. زیرسیگاری مکعبی او نمونهٔ شاخص طراحی ایتالیایی در میانهٔ قرن بیستم است. در قرن بیستم استفاده از اشکال خالص افلاطونی به یکی از ویژگی‌های سبک بین‌المللی معماری بدل شد. معمار سوئیسی لوکوربوزیه نیز سیستمی برای طراحی متناسب با ابعاد بدن انسان ارائه کرد که از نسبت طلایی بهره گرفته‌است. اساس باکمینستر فولر در ساخت گنبد ژئودزیک نیز بیست‌وجهی منتظم بود.

اهمیت و کاربرد

الگو:Image array

با اینکه اجسام افلاطونی، برخلاف آرای افلاطون، واحدهای ساختاری هستی نیستند، برخی مولکول‌ها و اتم‌های فشرده، به‌ویژه ساختارهای بلوری، شکلی شبیه اجسام افلاطونی دارند. سنگ نمک (NaCl یا نمک خوراکی طبیعی) گاه در بلورهای مکعبی شکل می‌گیرد و بلورهای فلئوریت (CaF₂ یا کلسیم فلوراید) شبیه هشت‌وجهی‌اند. پیریت (FeS₂، معروف به طلای احمق‌ها) هم در ساختارهای مکعبی، هشت‌وجهی، و دوازده‌وجهی یافت می‌شود. شبه‌کریستال هولميم-منيزيم-روى به شكل دوازده وجهى منتظم بوده و از خانواده شبه كريستال ها با تقارن بيست وجهى R-Mg-Zn است(R=Y، Tb، Dy، Ho، Er).الگو:Sfnالگو:Sfn در سال ۲۰۱۱ نیز دانشمند اسرائیلی دن شختمن برای کشف ساختار بیست‌وجهی منتظم کریستال مایع آلومینیم جایزه نوبل شیمی را دریافت کرد. هیدروکربن‌های افلاطونی هم نمایش مولکولی چند جسم افلاطونی‌اند که در آن‌ها رأس‌ها با اتم‌های کربن و اضلاع با پیوند کربن-کربن جایگزین شده‌است. از هیدروکربن‌های افلاطونی کوبان (C₈H₈) و دودِکاهدران (C₂₀H₂₀) سنتز شده‌اند و پیش‌بینی می‌شود تتراهدران (C₄H₄) از لحاظ جنبشی پایدار باشد. آنيون دودكابورات (⁻² [B₁₂H₁₂]) شبيه بيست وجهى منتظم است.الگو:Sfnالگو:Sfn

در اوایل قرن بیستم، ارنست هکل در کتاب اشکال هنری در طبیعتالگو:یادچپ برخی شعاعیان را توصیف کرد که اسکلتی شبیه اجسام افلاطونی دارند. ساختار برخی ویروس‌ها مثل تب‌خال نیز به شکل بیست‌وجهی منتظم است. به نوشتهٔ کریک و واتسون، بهینه‌ترین و ساده‌ترین حالت‌های ترکیب زیرساختارهای پروتئینی در ویروس برای تشکیل کپسید به شکل اجسام افلاطونی (و به‌ویژه بیست‌وجهی) است. ساده‌ترین کپسیدهای بیست‌وجهی با استفاده از ۳ زیرواحد همسان برای تشکیل هر وجه مثلثی ساخته می‌شوند. این بدین معنی است که برای ساختن یک کپسید کامل، به ۶۰ زیرواحد همسان نیاز است.

از هر پنج جسم افلاطونی در بازی‌های شانس به عنوان تاس استفاده می‌شود، و همچنین پازل‌های ترکیبی (مثل مکعب روبیک) به شکل همهٔ اجسام افلاطونی وجود دارد. الگو:-

قضایا و ویژگی‌ها

اثبات هندسی

تعریف

الگو:جسم افلاطونی یک چندوجهی محدب جسم افلاطونی است، اگر و تنها اگر

1. همهٔ وجه‌های آن چندضلعی‌های منتظم هم‌نهشت باشند.
2. هیچ‌کدام از وجه‌های آن با هم تلاقی نکنند، مگر در اضلاع آن.
3. تعداد یکسانی از وجه‌ها در هر یک از رأس‌ها به هم برسند.

به مجموع وجه‌ها و ضلع‌هایی که در یک رأس به هم می‌رسند «هرم رأس»الگو:یادچپ گفته می‌شود. منظور از هرم در اینجا یال هرم است و قاعدهٔ این هرم ممکن است مسطح نباشد. حداقل تعداد وجه‌هایی که می‌توانند در یک ضلع به هم برسند تا تشکیل یک چندوجهی بدهند سه تا است.

اگر چندوجهی محدب باشد، مجموع زوایای مسطحه‌ای که در هر رأسش به هم می‌رسند، کمتر از الگو:چر۳۶۰° است.

وجه‌های سه‌ضلعی

با به‌هم رسیدن سه سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر رأس، چهاروجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر الگو:ریاضی می‌شود که از الگو:ریاضی کمتر است، بنابراین چهاروجهی منتظم جسم افلاطونی است. با به‌هم رسیدن چهار سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر رأس، هشت‌وجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر الگو:ریاضی می‌شود که از الگو:ریاضی کمتر است، بنابراین هشت‌وجهی منتظم نیز جسم افلاطونی است. همچنین با به‌هم رسیدن پنج سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر رأس، بیست‌وجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر الگو:ریاضی می‌شود که از الگو:ریاضی کمتر است، بنابراین بیست‌وجهی منتظم جسم افلاطونی است. با به‌هم رسیدن شش سه‌ضلعی منتظم (مثلث متساوی‌الاضلاع) در هر رأس، مجموع زوایا در هر راس برابر الگو:ریاضی می‌شود که از الگو:ریاضی کمتر الگو:Underline و نمی‌توان تشکیل چندوجهی محدب داد. با افزایش تعداد سه‌ضلعی‌های منتظم به‌هم‌رسیده بعد از شش تا، مجموع زوایای اضلاع به‌هم‌رسیده در یک رأس همیشه از الگو:ریاضی بیشتر خواهد بود و چندوجهی محدب تشکیل نمی‌شود؛ بنابراین تنها سه جسم افلاطونی با وجوه مثلثی می‌توان ساخت.

وجه‌های چهارضلعی

با به‌هم رسیدن سه چهارضلعی منتظم (مربع) در هر رأس، شش‌وجهی منتظم (مکعب) تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر الگو:ریاضی می‌شود که از الگو:ریاضی کمتر است، بنابراین شش‌وجهی منتظم (مکعب) جسم افلاطونی است. با به‌هم رسیدن چهار چهارضلعی منتظم (مربع) در هر رأس، مجموع زوایا در هر رأس برابر الگو:ریاضی می‌شود که از الگو:ریاضی کمتر الگو:Underline و نمی‌توان تشکیل چندوجهی محدب داد. با افزایش تعداد مربع‌های به‌هم‌رسیده، مجموع زوایای اضلاع به‌هم‌رسیده در یک رأس همیشه از الگو:ریاضی بیشتر خواهد بود و چندوجهی محدب تشکیل نمی‌شود؛ بنابراین تنها یک جسم افلاطونی با وجوه مربعی می‌توان ساخت.

وجه‌های پنج‌ضلعی

با به‌هم رسیدن سه پنج‌ضلعی منتظم در هر رأس، دوازده‌وجهی منتظم تشکیل می‌شود. مجموع زوایا در هر رأس برابر الگو:ریاضی می‌شود که از الگو:ریاضی کمتر است، بنابراین دوازده‌وجهی منتظم جسم افلاطونی است. با به‌هم رسیدن چهار پنج‌ضلعی منتظم در هر رأس، مجموع زوایا در هر راس برابر الگو:ریاضی می‌شود که از الگو:ریاضی کمتر الگو:Underline و نمی‌تواند تشکیل چندوجهی محدب بدهد. با افزایش تعداد پنج‌ضلعی به‌هم‌رسیده، مجموع زوایای اضلاع به‌هم‌رسیده در یک رأس همیشه از الگو:ریاضی بیشتر خواهد بود و چندوجهی محدب تشکیل نمی‌شود؛ بنابراین تنها یک جسم افلاطونی با وجوه پنج‌ضلعی می‌توان ساخت.

وجه‌های شش‌ضلعی و بیشتر

با به‌هم رسیدن سه شش‌ضلعی منتظم در هر رأس، مجموع زوایا در هر راس برابر الگو:ریاضی می‌شود که از الگو:ریاضی کمتر الگو:Underline و نمی‌تواند تشکیل چندوجهی محدب بدهد. برای هفت‌ضلعی منتظم این عدد برابر الگو:ریاضی و برای برای هشت‌ضلعی منتظم این عدد الگو:ریاضی است و با افزایش تعداد اضلاع وجوه این عدد همواره زیاد می‌شود؛ بنابراین با چندضلعی‌های منتظم با بیشتر از پنج ضلع نمی‌توان جسم افلاطونی ساخت. به‌این‌ترتیب تنها پنج جسم افلاطونی وجود دارد که عبارتند از چهاروجهی منتظم، شش‌وجهی منتظم (مکعب)، هشت‌وجهی منتظم، دوازده‌وجهی منتظم، و بیست‌وجهی منتظم.

اثبات توپولوژیک

می‌توان، تنها با استفاده از اطلاعات ترکیبی اجسام افلاطونی، اثباتی کاملاً توپولوژییکی ارائه کرد. نکتهٔ مهم در این اثبات مشخصه اویلر است مبنی بر اینکه الگو:ریاضی، و این امر که الگو:ریاضی، که در آن p تعداد اضلاع هر وجه است و q تعداد اضلاعی که در هر رأس به هم می‌رسند. از ترکیب این معادله‌ها نتیجه می‌شود:

و پس از ساده‌سازی جبری:

از آنجا که E همواره مثبت است پس:

با بهره‌گیری از این امر که p و q باید دستکم ۳ باشند، می‌توان نشان داد که پنج حالت مختلف برای {p, q} وجود دارد:

• الگو:ریاضی الگو:--- (چهاروجهی منتظم)؛
• الگو:ریاضی الگو:--- (مکعب)؛
• الگو:ریاضی الگو:--- (هشت‌وجهی منتظم)؛
• الگو:ریاضی الگو:--- (دوازده‌وجهی منتظم)؛
• الگو:ریاضی الگو:--- (بیست‌وجهی منتظم).

ویژگی‌های ترکیبی

اطلاعات ترکیبی اجسام افلاطونی

جسم افلاطونی	تعداد وجوهالگو:سخ(F یا q)	تعداد اضلاعالگو:سخ(E یا p)	تعداد رئوسالگو:سخ(V)
چهاروجهی	۴	۶	۴
شش‌وجهیالگو:سخ(مکعب)	۶	۱۲	۸
هشت‌وجهی	۸	۱۲	۶
دوازده وجهی	۱۲	۳۰	۲۰
بیست وجهی	۲۰	۳۰	۱۲

نشان داده شد که هر جسم افلاطونی با نماد شِلَفْلی {p, q} نشان داده می‌شود که p تعداد اضلاع (یا رأس‌های) هر وجه و q تعداد وجه‌ها (یا اضلاعی) است که در هر رأس به یکدیگر می‌رسند. همهٔ اطلاعات ترکیبی این چندوجهی‌ها، شامل تعداد رأس‌ها (V)، اضلاع (E)، و وجه‌ها (F) با استفاده از p و q قابل تعیین هستند. از آنجا که هر ضلع، دو رأس را به یکدیگر متصل کرده و دو وجه مجاور دارد، رابطهٔ زیر برقرار است: الگو:وسط

همچنين تعداد رئوس، اضلاع و وجوه عبارتند از:الگو:Sfn الگو:وسط

مشخصهٔ اویلر

رابطهٔ دیگر بین اطلاعات ترکیبی اجسام افلاطونی با استفاده از مشخصه اویلر به‌دست می‌آید: الگو:وسط

یعنی برای هر جسم افلاطونی، تعداد رئوس منهای تعداد اضلاع به‌علاوهٔ تعداد وجه‌ها برابر ۲ است. مثلاً در مکعب داریم: الگو:ریاضی. مشخصهٔ اویلر، که برای همهٔ چندوجهی‌های بدون حفره صادق است، برای اثبات قضیه‌های مختلفی در خصوص اجسام افلاطونی به کار می‌رود.

به مثابه پیکربندی

پیکربندی در صفحه مجموعه‌ای است از الگو:Math تا نقطه و الگو:Math تا خط، که از هر کدام از نقطه‌ها الگو:Math تا خط بگذرد و روی هر خط الگو:Math تا نقطه قرار داشته بگیرد. می‌توان نشان داد که: الگو:وسط

برای مثال، هر p-ضلعی یک پیکربندی است که در آن الگو:Math (یعنی هر p-ضلعی p تا ضلع و رأس دارد) و الگو:Math (یعنی از هر رأس p-ضلعی دو ضلع می‌گذرد و روی هر ضلع آن p رأس قرار دارد). با تعمیم پیکربندی در هندسهٔ فضایی، می‌توان آن را مجموعه‌ای از الگو:Math تا نقطه، الگو:Math تا خط، و الگو:Math تا صفحه دانست، و می‌توان به‌طور خلاصه گفت الگو:Math تا j-فضا (که در آن ۰-فضا همان نقطه، ۱-فضا همان خط، و ۲-فضا همان صفحه است) با الگو:Math تا k-فضا برخورد می‌کنند (الگو:Math). می‌توان نشان داد که: الگو:وسط

این اعداد را می‌توان به‌سادگی در یک ماتریس نمایش داد: الگو:وسط

مفهوم پیکربندی اصولا در هندسه تصویری مورد مطالعه قرار می‌گیرد و در آن می‌توان با بهره‌گیری از اصل دوگانگی، رابطهٔ بین نقاط و صفحه‌های متناظر را حفظ کرد. به این مفهوم به‌ویژه در مورد اجسام افلاطونی توجه می‌شود، چرا که با چرخاندن ماتریس هر جسم افلاطونی به اندازهٔ ۱۸۰‌ درجه می‌توان ماتریس مزدوج آن را نوشت. برای هر جسم افلاطونی با نماد شلفلی {p, q} ماتریس پیکربندی به این شکل است: الگو:وسط

ماتریس پیکربندی هر پنج جسم افلاطونی در جدول زیر آمده است.

{p,q}	پیکربندی افلاطونی
رتبهٔ گروه (g)	g=24	g=48		g=120
v e f v g/2q q q e 2 g/4 2 f p p g/2p	{3,3} (چهاروجهی) 4 3 3 2 6 2 3 3 4	{3,4} (مکعب) 6 4 4 2 12 2 3 3 8	{4,3} (هشت‌وجهی) 8 3 3 2 12 2 4 4 6	{3,5} (دوازده‌وجهی) 12 5 5 2 30 2 3 3 20	{5,3} (بیست‌وجهی) 20 3 3 2 30 2 5 5 12
g = 8pq/(4-(p-2)(q-2))

ویژگی‌های هندسی

زاویه‌ها

زاویهٔ دوسطحی، زاویهٔ داخلی بین هر دو وجه چندوجهی است. اندازهٔ زاویهٔ دوسطحی، θ، برای چندوجهی {p,q} با استفاده فرمول زیر به‌دست می‌آید: الگو:وسط

کاستی زاویه‌ای هر رأس یک چندوجهی، اختلاف بین مجموع زوایای بین وجه‌ها در هر رأس و 2π (بر حسب رادیان) است. کاستی زاویه‌ای، δ، در هر رأس جسم افلاطونی {p,q}، با استفاده از رابطهٔ زیر به‌دست می‌آید:

با استفاده از قضیه دکارت در باب مجموع کاستی‌ها،الگو:یاد این مقدار برابر است با 4π تقسیم بر تعداد رأس‌ها (مجموع کاستی‌ها در همهٔ رأس‌ها 4π است).

معادل سه‌بعدی زاویهٔ سطحی، زاویهٔ فضایی است. زاویهٔ فضایی، Ω، در رأس یک جسم افلاطونی، بر حسب زاویهٔ دوسطحی، به‌صورت زیر به‌دست می‌آید: الگو:وسط

زاویه‌های مربوط به اجسام افلاطونی در جدول زیر ارائه شده‌اند. مقدار زوایای فضایی بر حسب استرادیان داده شده‌است. ثابت $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$، نسبت طلایی است.

چندوجهی	زاویه دوسطحی (θ)	الگو:Math	کاستی زاویه‌ای (δ)	زاویه فضایی رأس (Ω)	زاویه فضایی وجه
چهاروجهی	۷۰٫۵۳°	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\pi$	${\cos }^{-1}\left(\frac{23}{27}\right)\approx 0.551286$	$\pi$
مکعب	۹۰°	$1$	$\frac{\pi }{2}$	$\frac{\pi }{2}\approx 1.57080$	$\frac{2\pi }{3}$
هشت‌وجهی	۱۰۹٫۴۷°	$\sqrt{2}$	$\frac{2\pi }{3}$	$4{\sin }^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\approx 1.35935$	$\frac{\pi }{2}$
هشت‌وجهی	۱۱۶٫۵۷°	$\phi$	$\frac{\pi }{5}$	$\pi -{\tan }^{-1}\left(\frac{2}{11}\right)\approx 2.96174$	$\frac{\pi }{3}$
دوازده‌وجهی	۱۳۸٫۱۹°	${\phi }^2$	$\frac{\pi }{3}$	$2\pi -5{\sin }^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\approx 2.63455$	$\frac{\pi }{5}$

شعاع، مساحت، و حجم

همهٔ اجسام افلاطونی، سه کره هم‌مرکز دارند:

• کرهٔ محیطی که از همهٔ رأس‌ها عبور می‌کند،
• کرهٔ میانی که بر همهٔ اضلاع در نقطهٔ وسط ضلع مماس است،
• کره محاطی که بر همه وجه‌ها در مرکز وجه مماس است.

شعاع این کره‌ها، «شعاع محیطی»،الگو:یادچپ «شعاع میانی»،الگو:یادچپ و «شعاع محاطی»الگو:یادچپ نامیده می‌شوند که به‌ترتیب برابر با فاصله مرکز چندوجهی از رأس‌ها، نقطه وسط اضلاع و مرکز وجه‌ها هستند. شعاع مح‍یطی (R) و شعاع محاطی (r) برای چندوجهی {p, q} با طول ضلع a از رابطهٔ زیر به‌دست می‌آید:

الگو:وسط که θ، زاویهٔ دوسطحی است.

مساحت سطح کل جسم (A) برای یک جسم افلاطونی {p, q} به آسانی و با استفاده از ضرب تعداد وجه‌ها (F) در مساحت p-ضلعی منتظم به‌دست می‌آید:

شعاع میانی ρ با استفاده از رابطهٔ زیر به‌دست می‌آید:

حجم اجسام افلاطونی برابر است با حاصل‌ضرب F در حجم هرمی با قاعده p-ضلعی منتظم و ارتفاع شعاع داخلی r: الگو:وسط

جدول زیر، شعاع‌ها، مساحت و حجم اجسام افلاطونی را ارائه کرده‌است. در این جدول، طول ضلع الگو:ریاضی در نظر گرفته شده‌است.

چندوجهی	شعاع محاطی (r)	شعاع میانی (ρ)	شعاع محیطی (R)	مساحت سطح (A)	حجم (V)	ضریب حجم (طول ضلع = ۱)
چهاروجهی	$\frac{1}{\sqrt{6}}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\sqrt{\frac{3}{2}}$	$4\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{8}}{3}\approx 0.942809$	$\approx 0.117851$
مکعب	$1$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{3}$	$24$	$8$	$1$
هشت‌وجهی	$\sqrt{\frac{2}{3}}$	$1$	$\sqrt{2}$	$8\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{128}}{3}\approx 3.771236$	$\approx 0.471404$
دوازده‌وجهی	$\frac{{\phi }^2}{\xi }$	${\phi }^2$	$\sqrt{3}\phi$	$12\sqrt{25+10\sqrt{5}}$	$\frac{20{\phi }^3}{{\xi }^2}\approx 61.304952$	$\approx 7.663119$
بیست‌وجهی	$\frac{{\phi }^2}{\sqrt{3}}$	$\phi$	$\xi \phi$	$20\sqrt{3}$	$\frac{20{\phi }^2}{3}\approx 17.453560$	$\approx 2.181695$

ثابت‌های φ و ξ در جدول بالا عبارتند از:

مختصات دکارتی و نسبت طلایی

مختصات دکارتی چهاروجهی منتظم، مکعب، و هشت‌وجهی منتظم شامل نسبت طلایی ($\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.6180$) نیست و می‌توان آن‌ها را با اعداد طبیعی نشان دارد. از سوی دیگر برای نمایش مختصات دکارتی دوازده‌وجهی منتظم و بیست‌وجهی منتظم به نسبت طلایی نیاز است. مختصات رئوس دوازده‌وجهی را می‌توان به‌سادگی از طریق رئوس سه مستطیل طلایی (مستطیلی که نسبت طول به عرض آن برابر الگو:ریاضی است) عمود برهم محاسبه کرد. اضلاع دوازده‌وجهی پاره‌خط‌هایی هستند که هر رأس مستطیل‌های طلایی را به پنج رأس همسایهٔ آن وصل می‌کنند.

بیست‌وجهی منتظم را هم می‌توان با وصل کردن رئوس سه مستطیل عمود بر هم با نسبت طول به عرض الگو:ریاضی به رئوس یک مکعب ایجاد کرد.

مختصات دکارتی اجسام افلاطونی

شکل	چهاروجهی منتظم		هشت‌وجهی منتظم	مکعب	بیست وجهی منتظم		دوازده‌وجهی منتظم
وجه‌ها	۴		۸	۶	۲۰		۱۲
رأس‌ها	۴		۶ (۲ × ۳)	۸	۱۲ (۴ × ۳)		۲۰ (۸ + ۴ × ۳)
جهت‌گیریالگو:سخمجموعه	۱	۲			۱	۲	۱	۲
مختصاتالگو:سخرأس	(۱, ۱, ۱)الگو:سخ(۱, −۱, −۱)الگو:سخ(−۱, ۱, −۱)الگو:سخ(−۱, −۱, ۱)	(−۱, −۱, −۱)الگو:سخ(−۱, ۱, ۱)الگو:سخ(۱, −۱, ۱)الگو:سخ(۱, ۱, −۱)	الگو:سخ(±۱, ۰, ۰)الگو:سخ(۰, ±۱, ۰)الگو:سخ(۰, ۰, ±۱)	(±۱, ±۱, ±۱)	الگو:سخ(۰, ±۱, ±φ)الگو:سخ(±۱, ±φ, ۰)الگو:سخ(±φ, ۰, ±۱)	الگو:سخ(۰, ±φ, ±۱)الگو:سخ(±φ, ±۱, ۰)الگو:سخ(±۱, ۰, ±φ)	(±۱, ±۱, ±۱)الگو:سخ(0, ±الگو:Sfrac, ±φ)الگو:سخ(±الگو:Sfrac, ±φ, ۰)الگو:سخ(±φ, ۰, ±الگو:Sfrac)	(±۱, ±۱, ±۱)الگو:سخ(۰, ±φ, ±الگو:Sfrac)الگو:سخ(±φ, ±الگو:Sfrac, ۰)الگو:سخ(±الگو:Sfrac, ۰, ±φ)
تصویر
حرف یونانی φ به نسبت طلایی $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.6180$ اشاره دارد.

چندوجهی‌های مزدوج

با وصل کردن نقطهٔ وسط وجه‌های یک چندوجهی (یا به عبارت دیگر جابجا کردن تعداد وجه‌ها و رأس‌ها) مزدوج آن چندوجهی حاصل می‌شود. مزدوج هر جسم افلاطونی هم یک جسم افلاطونی است:

بدون قاب

با متصل کردن نقطهٔ وسط وجوه یک چهاروجهی منتظم، یک چهاروجهی منتظم کوچکتر حاصل می‌شود (تعداد وجوه و رئوس چهاروجهی (۴) با هم برابر است).الگو:-

بدون قاب

بدون قاب

با متصل کردن نقطهٔ وسط وجوه یک شش‌وجهی منتظم (مکعب)، یک هشت‌وجهی منتظم حاصل می‌شود. همچنین با اتصال نقطهٔ وسط وجوه یک هشت‌وجهی منتظم، یک شش‌وجهی منتظم (مکعب) به‌دست می‌آید (تعداد وجوه مکعب با رئوس هشت‌وجهی (۶) برابر و رئوس آن (۸) با وجوه هشت‌وجهی برابر است).الگو:-

بدون قاب

بدون قاب

با متصل کردن نقطهٔ وسط وجوه یک دوازده‌وجهی منتظم، یک بیست‌وجهی منتظم حاصل می‌شود. همچنین با اتصال نقطهٔ وسط وجوه یک بیست‌وجهی منتظم، یک دوازده‌وجهی منتظم به‌دست می‌آید (تعداد وجوه دوازده‌وجهی با رئوس بیست‌وجهی (۱۲) برابر و رئوس آن (۲۰) با وجوه بیست‌وجهی برابر است).الگو:-

اگر نماد شلفلی یک چندوجهی الگو:ریاضی باشد، نماد شلفلی مزدوج آن الگو:ریاضی خواهد بود. به‌طور کلی هر ویژگی‌ ترکیبی یک جسم افلاطونی را می‌توان برابر ویژگی ترکیبی دیگری از مزدوج آن دانست.الگو:-

از آنجا که گروه تقارن هر چندوجهی با گروه تقارن مزدوج آن یکی است، تنها سه گروه تقارن در رابطه با اجسام افلاطونی مطرح می‌شود که عبارتند از:

• تقارن چهاروجهی (گروه تقارن T)
• تقارن هشت‌وجهی (گروه تقارن O، که با گروه تقارن مکعب یکی است.)
• تقارن بیست‌وجهی (گروه تقارن I، که با گروه تقارن دوازده‌وجهی یکی است.)

گروه‌های تقارن اجسام افلاطونی در جدول زیر آمده است.

چندوجهی	نماد شلفلی	نماد ویتهافالگو:یادچپ	چندوجهی مزدوج	گروه تقارن
				گروه چندوجهیالگو:یادچپ	نشانه‌گذاری شونفلیزالگو:یادچپ	نشانه‌گذاری کاکسترالگو:یادچپ	نشانه‌گذاری فراخمینهالگو:یادچپ	رتبه گروه
چهاروجهی	{3, 3}	3 الگو:Pipe 2 3	چهاروجهی	تقارن چهاروجهی	Td T	[3,3] [3,3]+	*332 332	24 12
مکعب	{4, 3}	الگو:چپ‌چین3 الگو:Pipe 2 4الگو:پایان چپ‌چین	هشت‌وجهی	تقارن هشت‌وجهی	Oh O	[4,3] [4,3]+	*432 432	48 24
هشت‌وجهی	{3, 4}	4 الگو:Pipe 2 3	مکعب
دوازده‌وجهی	{5, 3}	3 الگو:Pipe 2 5	بیست‌وجهی	تقارن بیست‌وجهی	Ih I	[5,3] [5,3]+	*532 532	120 60
بیست‌وجهی	{3, 5}	5 الگو:Pipe 2 3	دوازده‌وجهی

ساخت ساير اجسام افلاطونى از چهاروجهى

الگو:Image array

ساير اجسام افلاطونى را مى توان در نشانه گذارى چندوجهى كانوى از چهاروجهى ساخت:الگو:Sfn

• چهاروجهى T = Y₃
• هشت وجهى O = aT (آمبو كردن چهاروجهى)
• مكعب C = jT (جوين كردن چهاروجهى)
• بيست وجهى منتظم I = sT (اسناب كردن چهاروجهى)
• دوازده وجهى منتظم D = gT (جيرو كردن چهاروجهى)

٤ عمل آمبو، جوين، اسناب و جيرو به عنوان مثال در تصاوير در مكعب نشان داده شده است.

گراف افلاطونی

گراف‌های افلاطونی گراف‌هایی هستند که رئوس و یال‌هایشان رئوس و اضلاع اجسام افلاطونی است که عبارتند از:

نام گراف	تصویر	جسم افلاطونی متناظر	مرتبه	اندازه	گراف کامل؟	گراف منتظم؟	گراف همیلتونی؟	درجات رئوس
گراف چهاروجهی		چهاروجهی منتظم	۴	۶	بله (K4)	بله (۳-منتظم)	بله	۴ تا درجه ۳
گراف مکعبی الگو:یاد		مکعب	۸	۱۲	نه	بله (۳-منتظم)	بله	۸ تا درجه ۳
گراف هشت وجهی		هشت وجهی منتظم	۶	۱۲	نه	بله (۴-منتظم)	بله	۶ تا درجه ۴
گراف دوازده وجهی		دوازده وجهی منتظم	۲۰	۳۰	نه	بله (۳-منتظم)	بله	۲۰ تا درجه ۳
گراف بیست وجهی		بیست وجهی منتظم	۱۲	۳۰	نه	بله (۵-منتظم)	بله	۱۲ تا درجه ۵

لانه زنبوری سه بعدى فضا

لانه زنبوری سه بعدی شامل بی شمار چندوجهی است که فضا را پر می‌کنند به طوری هر وجه یک چندوجهی به چندوجهی دیگری نیز تعلق داشته باشد (از وجوه به هم چسبیده باشند).

الگو:Image array

در هندسه، موازی الوجوه الگو:یاد نوعی چندوجهی است که می‌تواند بدون چرخش در فضای اقلیدسی سه بعدی منتقل شود تا فضا را با لانه زنبوری کردن پر کند که در آن همه کپی‌های چندوجهی وجه به وجه به هم می‌رسند. پنج نوع موازی الوجوه وجود دارد که یکی از آنها متوازی‌السطوح است که مکعب از انواع آن است.

با استفاده از هشت وجهی منتظم و چهاروجهی منتظم نیز به‌طور ترکیبی می‌توان لانه زنبوری کرد.

پلیتوپ‌های مرتبط

چندوجهی‌های نیمه‌منتظم

الگو:مرتبط اجسام ارشمیدسی چندوجهی‌های محدبی هستند که از بیش از یک نوع چندضلعی همنهشت ساخته شده‌اند و وجوه در هر رأس به‌طور مشابه با دیگر رئوس به هم می‌رسند. در کل ۱۳ جسم ارشمیدسی وجود داردالگو:یاد که از این تعداد هفت تای آن‌ها را می‌توان با بریدن گوشه‌های اجسام افلاطونی ساخت. این هفت جسم ارشمیدسی عبارتند از:

1. مکعب‌هشت‌وجهی، که هشت وجهش مثلث متساوی‌الاضلاع و شش وجهش مربعند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های مکعب یا هشت‌وجهی منتظم از وسط اضلاع آن‌ها ساخت؛
2. بیست‌دوازده‌وجهی، که بیست وجهش مثلث متساوی‌الاضلاع و دوازده وجهش پنج‌ضلعی منتظمند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های دوازده‌وجهی منتظم یا بیست‌وجهی منتظم از وسط اضلاع ساخت.الگو:یاد
3. چهاروجهی بریده‌شده، که چهار وجهش شش‌ضلعی منتظم و چهار وجهش مثلث متساوی‌الاضلاعند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های چهاروجهی منتظم تا الگو:ریاضی درصد طول اضلاع ساخت.
4. مکعب بریده‌شده، که شش وجهش هشت‌ضلعی منتظم و هشت وجهش مثلث متساوی‌الاضلاعند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های مکعب تا الگو:ریاضی درصد طول اضلاع ساخت.
5. هشت‌وجهی بریده‌شده، که هشت وجهش شش‌ضلعی منتظم و شش وجهش مربعند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های هشت‌وجهی منتظم تا الگو:ریاضی درصد طول اضلاع ساخت.
6. دوازده‌وجهی بریده‌شده، که ۱۲ وجهش ده‌ضلعی منتظم و ۲۰ وجهش مثلث متساوی‌الاضلاعند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های دوازده‌وجهی منتظم تا الگو:ریاضی درصد طول اضلاع ساخت.
7. بیست‌وجهی بریده‌شده یا «توپ فوتبال»، که ۱۲ وجهش پنج‌ضلعی منتظم و ۲۰ وجهش شش‌ضلعی منتظمند و می‌توان آن را با بریدن گوشه‌های بیست‌وجهی منتظم تا الگو:ریاضی درصد طول اضلاع ساخت.

اجسام کاتالان را هم، که مزدوج اجسام ارشمیدسی‌اند، می‌توان ازین روش ساخت، بااین‌حال وجه‌های اجسام کاتالان در رئوس به‌طور یکسان به هم نمی‌رسند، اما همگی همنشتند.

موزائیک‌کاری منتظم

سه نوع موزائیک‌کاری منتظم صفحه

{۴٬۴}	{۳٬۶}	{۶٬۳}

موزائیک‌کاری صفحه‌ها با استفاده از چندضلعی منتظم محدب به‌طوری که اضلاع واحدها روی هم بیفتند و درزی باقی نماند (اصطلاحاً «لانه‌زنبوری دوبعدی»الگو:یادچپ) به سه روش ممکن است که با سه گروه تقارن اجسام افلاطونی متناظرند؛ ازین رو می‌توان اجسام افلاطونی را موزائیک‌کاری منتظم سطح کُره‌ای هم‌مرکز با آن دانست. از سوی دیگر در مثلثات کروی می‌توان با تصویر اضلاع اجسام افلاطونی روی سطح کره واحدهای لازم برای پوشاندن سطح آن را به‌دست آورد. روش ابوالوفا محمد بوزجانی برای پوشاندن سطح کره که برای پوشاندن گنبدها و سقف‌های پیچیده معماری اسلامی با اشکال سادهٔ هندسی به کار می‌رود مبتنی بر همین ویژگی اجسام افلاطونی است.

موزائیک‌کاری افلاطونی کره

{۳٬۳}	{۴٬۳}	{۳٬۴}	{۵٬۳}	{۳٬۵}

در بعدهای بالاتر

یک تصویرسازی سه‌بعدی از ۶۰۰-خانه، شیءی چهاربعدی که شرایط اجسام افلاطونی را احراز می‌کند. همانگونه که می‌توان از اشیاء سه‌بعدی عکس‌هایی دوبعدی تهیه کرد، از اشیاء چهاربعدی هم می‌توان تصاویری سه‌بعدی انداخت.

در سال ۱۸۵۲، لودویگ شلفلیِ ریاضی‌دان ثابت کرد که در فضای چهاربعدی شش «چندوجهی» هست که شروط اجسام افلاطونی را احراز می‌کند. در فضای پنج‌بعدی و فضاها در ابعاد بالاتر همیشه تنها سه «چندوجهی» وجود دارد که شروط اجسام افلاطونی را احراز می‌کند. این چندبرها، که تعمیمی از اجسام افلاطونی هستند، عبارتند از ابرمکعب (مکعب n-بعدی)، سیمپلکس (چهاروجهی n-بعدی)، و ارتوپلکس (هشت‌وجهی n-بعدی). علاوه بر سه چندبر، در فضای سه‌بعدی دو چندوجهی (دوازده‌وجهی منتظم و بیست‌وجهی منتظم) و در فضای چهاربعدی سه چندبر (معروف به ۲۴-خانه، ۱۲۰-خانه، و ۶۰۰-خانه) هست.

جستارهای وابسته

• جسم ارشمیدسی
• جسم کاتالان

منابع

فهرست منابع

• الگو:Cite book
• الگو:Cite book
• الگو:Cite book
• الگو:Cite book
• الگو:Cite book
• الگو:Cite book
• الگو:Cite book
• الگو:Cite journal
• الگو:Cite book
• الگو:Cite book
• الگو:Cite book
• الگو:Cite book
• الگو:Cite book
• الگو:Cite book
• الگو:Cite journal
• الگو:Cite book
• الگو:Cite book
• الگو:Cite journal
• الگو:Cite journal
• الگو:Cite journal
• الگو:Cite journal
• الگو:Cite journal
• الگو:Cite book
• الگو:Cite book
• الگو:Cite web
• الگو:Cite web
• الگو:Cite web
• الگو:Cite web
• الگو:Cite web
• الگو:Cite web
• الگو:Cite web

• الگو:یادکرد ژورنال
• الگو:یادکرد ژورنال
• الگو:یادکرد ژورنال