انتگرال فرینل

نمودارهای S(x) و C(x). بیشینه‌ی C(x) تقریباً برابر 0.977451424 است.

انتگرال‌های فرینل، S(x) و C(x) دو تابع غیرجبری هستند که به نام اگوستن-ژان فرینل نام‌گذاری شده‌اند. این تابع با تابع خطا ارتباط نزدیکی دارد. این انتگرال‌ها در اپتیک (مثلاً تقریب فرینل) کاربرد دارند.

تعریف

این انتگرال‌ها چنین تعریف می‌شوند: $\begin{array}{cc}S(x)& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\sin (t^2)\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}\\ C(x)& =\underset{0}{\overset{x}{\int }}\cos (t^2)\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}\end{array}$

ویژگی‌ها

تابع فرینل مختلط C(z)

تابع فرینل مختلط S(z)

• توابع S(x) و C(x) تابع‌هایی فرد از x هستند.
• رفتار مجانبی این انتگرال‌ها در $x\to \mathrm{\infty }$ چنین است:

$\begin{array}{cc}S(x)& =\sqrt{\frac{\pi }{2}}(\frac{\text{sign}(x)}{2}-[1+O(x^{-4})](\frac{\cos (x^2)}{x\sqrt{2\pi }}+\frac{\sin (x^2)}{x^3\sqrt{8\pi }})),\\ C(x)& =\sqrt{\frac{\pi }{2}}(\frac{\text{sign}(x)}{2}+[1+O(x^{-4})](\frac{\sin (x^2)}{x\sqrt{2\pi }}-\frac{\cos (x^2)}{x^3\sqrt{8\pi }})).\end{array}$

• این توابع بر حسب تابع خطا چنین قابل بیان هستند:

$\begin{array}{cc}S(z)& =\sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{1+i}{4}[\mathrm{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right)-i\mathrm{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right)],\\ C(z)& =\sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{1-i}{4}[\mathrm{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right)+i\mathrm{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right)].\end{array}$

یا

$\begin{array}{cc}C(z)+iS(z)& =\sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{1+i}{2}\mathrm{erf}\left(\frac{1-i}{\sqrt{2}}z\right),\\ S(z)+iC(z)& =\sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{1+i}{2}\mathrm{erf}\left(\frac{1+i}{\sqrt{2}}z\right).\end{array}$