اتحادهای گرین

در ریاضیات، اتحادهای گرین شامل سه اتحاد در جبر بردارها است که به نام جورج گرین ریاضیدان انگلیسی نام‌گذاری شده‌است.

اتحاد یکم

این اتحاد از وارد کردن قضیهٔ دیورژانس در فضای برداری بدست آمده‌است. $𝐅=\psi \mathrm{\nabla }\phi$ فرض کنید φ و ψ تابع‌های نردبانی اند (عددی) که بر روی ناحیهٔ U از R^۳ تعریف شده‌اند. همچنین فرض کنید که φ دو بار مشتق پذیر و پیوسته و ψ یک بار مشتق پذیر و پیوسته است. آنگاه: الگو:چپچین

$\underset{U}{\int }(\psi {\mathrm{\nabla }}^2\phi +\mathrm{\nabla }\phi \cdot \mathrm{\nabla }\psi )dV={\oint }_{\partial U}\psi (\mathrm{\nabla }\phi \cdot 𝐧)dS$

الگو:پایان چپچین که در آن ${\mathrm{\nabla }}^2$ همان عملگر لاپلاس است. n بردار یکهٔ عمود بر سطح کوچک dS و $\partial U$ مرز ناحیهٔ U می‌باشد. این قضیه اساساً هم‌ارز انتگرال‌گیری در ابعاد بالاتر است که دارای جزءهای ψ و گرادیان φ به جای u و v می‌باشد.

اتحاد دوم

اگر φ و ψ هر دو، دو بار مشتق پذیر و پیوسته بر روی ناحیهٔ U از R^۳ باشند و ε یک بار مشتق پذیر و پیوسته باشد: الگو:چپچین

$\underset{U}{\int }[\psi \mathrm{\nabla }\cdot \left(ϵ\mathrm{\nabla }\phi \right)-\phi \mathrm{\nabla }\cdot \left(ϵ\mathrm{\nabla }\psi \right)]dV={\oint }_{\partial U}ϵ(\psi \frac{\partial \phi }{\partial n}-\phi \frac{\partial \psi }{\partial n})dS.$

الگو:پایان چپچین در حالت خاص $ϵ=1$ بر روی ناحیهٔ U از R^۳ خواهیم داشت: الگو:چپچین

$\underset{U}{\int }(\psi {\mathrm{\nabla }}^2\phi -\phi {\mathrm{\nabla }}^2\psi )dV={\oint }_{\partial U}(\psi \frac{\partial \phi }{\partial n}-\phi \frac{\partial \psi }{\partial n})dS.$

الگو:پایان چپچین در رابطهٔ بالا، ∂φ / ∂n مشتق جهت دار φ در جهت n، رو به بیرون و عمود بر سطح کوچک dS است: الگو:چپچین

$\frac{\partial \phi }{\partial n}=\mathrm{\nabla }\phi \cdot 𝐧.$

اتحاد سوم

اتحاد سوم گرین از اتحاد دوم بدست می‌آید. به شرطی که $\phi =G$ در نظر بگیریم و G جواب معادلهٔ لاپلاس باشد و این بدین معنی است که: الگو:چپچین

${\mathrm{\nabla }}^{2}G(𝐱,\mathit{\eta })=\delta (𝐱-\mathit{\eta }).$

الگو:پایان چپچین برای نمونه در ${ℝ}^3$ جواب بنیادی فرم زیر را دارد: الگو:چپچین

$G(𝐱,\mathit{\eta })=\frac{-1}{4\pi \Vert 𝐱-\mathit{\eta }\Vert }.$

الگو:پایان چپچین اتحاد سوم گرین می‌گوید که اگر ψ تابعی باشد که دو بار بر روی ناحیهٔ U پیوسته و مشتق پذیر است، آنگاه: الگو:چپچین

$\underset{U}{\int }[G(𝐲,\mathit{\eta }){\mathrm{\nabla }}^2\psi (𝐲)]d{V}_{𝐲}-\psi (\mathit{\eta })={\oint }_{\partial U}[G(𝐲,\mathit{\eta })\frac{\partial \psi }{\partial n}(𝐲)-\psi (𝐲)\frac{\partial G(𝐲,\mathit{\eta })}{\partial n}]d{S}_{𝐲}.$

الگو:پایان چپچین اگر بخواهیم مسئله را ساده‌تر کنیم، آن را به این شکل بیان می‌داریم که اگر ψ یک تابع هارمونیک باشد، برای نمونه جواب معادلهٔ لاپلاس باشد، آنگاه ${\mathrm{\nabla }}^2\psi =0$ و اتحاد به شکل زیر ساده می‌شود: الگو:چپچین

$\psi (\mathit{\eta })={\oint }_{\partial U}[\psi (𝐲)\frac{\partial G(𝐲,\mathit{\eta })}{\partial n}-G(𝐲,\mathit{\eta })\frac{\partial \psi }{\partial n}(𝐲)]d{S}_{𝐲}.$

جستارهای وابسته

• تابع گرین
• جورج گرین

پیوند به بیرون

• [۱] اتحادهای گرین در Wolfram MathWorld.