تابع گرین

تابع گرین

تابع گرین به انگلیسی ( Green's function ) مفهومی است که اولین بار در دهه ۱۸۳۰ توسط جرج گرین ریاضی دان انگلیسی مطرح شد. به‌طور کلی تابع گرین هسته انتگرال است که برای حل معادلات دیفرانسیل از جمله معادلات دیفرانسیل معمولی با شرایط اولیه یا مرزی و هم چنین مسائل دشوارتر مانند معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی غیرهمگن با شرایط مرزی مورد استفاده قرار میگیرد. الگو:سرخط به‌طور دقیق فرض کنید عملگر دیفرانسیلی خطیL=L(x) که روی مجموعه ای از توزیع ها روی $D\subseteq R^n$ عمل میکند داده شده است.یک تابع گرین در نقطه s ∈ Dمتناظر با عملگر L ، هر جواب معادله زیر است:الگو:سرخط الگو:چپ‌چین $LG(x,s)=\delta (x-s)$ الگو:پایان چپ‌چین الگو:سرخط که $\delta$ تابع دلتای دیراک است.در واقع G تابعی است که با اثر کردن عملگر دیفرانسیلی L روی آن تابع دلتای دیراک حاصل می شود. با ضرب طرفین این رابطه در f(s) و انتگرال گیری خواهیم داشت: الگو:چپ‌چین $\int LG(x,s)f(s)ds=\int \delta (x-s)f(s)ds$ الگو:پایان چپ‌چین با استفاده از خواص تابع دلتای دیراک میدانیم عبارت سمت راست رابطه فوق برابر f(x) است، از طرفی چون عملگر L خطی است و فقط روی x اثر میکند عبارت سمت چپ رابطه فوق را میتوانیم به صورت زیر بنویسیم:الگو:چپ‌چین $L=(\int G(x,s)f(s)ds)$ الگو:پایان چپ‌چین این روند برای حل معادلات دیفرانسیل زیر که u=u(x) بسیار مفید است: الگو:چپ‌چین $Lu(x)=f(x)$ ⇒ $Lu(x)=L(\int G(x,s)f(s)dx)$

$u(x)=\int G(x,s)f(s)ds$

خواص تابع گرین در بعد یک

• شرط پیوستگی

تابع گرین مسئله اشتورم- لیوویل هموار پیوسته است یعنی: الگو:چپ‌چین $[G(x,s){]}_{x=s^{-}}^{x=s^{+}}=0$ ⇒ $G(x,s^{-})=G(x,s^{+})$ الگو:پایان چپ‌چین

• شرط پرش:

الگو:چپ‌چین $[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}G(x,s){]}_{x=s^{-}}^{x=s^{+}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p}\mathrm{(}\mathrm{s}\mathrm{)}}$ الگو:پایان چپ‌چین به کمک این خواص میتوان تابع گرین مربوط به یک مسئله اشتورم- لیوویل هموار را مشخص کرد. الگو:سرخط

تابع گرین دو بعدی و سه بعدی

اگر در بعد دو و سه دامنه مورد نظر ناحیه D باشد آنگاه شرایط مرزی روی مرز D یعنی $\partial D$تعریف میشود.الگو:سخ فرض میکنیم D کراندار باشد: مشابه قسمت یک بعدی میتوانیم تابع گرین دو بعدی را نیز به صورت زیر تعریف کنیم:الگو:چپ‌چین ${\mathrm{\nabla }}^{2}G(x,s)=\delta (x-s)$ الگو:پایان چپ‌چین با شرایط مرزی الگو:چپ‌چین $aG(x,s)+bn.{\mathrm{\nabla }}_{x}G(x,s)=0$ الگو:پایان چپ‌چین که $\mathrm{\nabla }$ تابع گرادیان است. برای تعیین تابع گرین ، گرادیان را حول نقاطی بررسی میکنیم که به s نزدیک اند:الگو:چپ‌چین $x=s+r$ الگو:پایان چپ‌چین الگو:چپ‌چین

$r=\{\begin{array}{cc}r(cos\theta ,sin\theta ),& in2D,\\ r(cos\theta sin\phi ,sin\theta sin\phi ,cos\phi ),& in3D.\end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین که $0\le \theta \le 2\pi$ و $0\le \phi \le \pi$ الگو:سخ $S_{\beta }$ رادایره ای به شعاع $\beta$ در نظر میگیریم: الگو:چپ‌چین $S_{\beta }=${$x:|x-s|=r\le \beta$}

$x:|x-s|=r\le \beta$

الگو:پایان چپ‌چین الگو:چپ‌چین ${\mathrm{\nabla }}^{2}G(x,s)=\delta (x,s)$ الگو:پایان چپ‌چین الگو:چپ‌چین $\underset{S_{\beta }}{\int }{\mathrm{\nabla }}^{2}G(x,s)dx=\underset{S_{\beta }}{\int }\delta (x,s)dx$ الگو:پایان چپ‌چین طبق خاصیت تابع دلتای دیراک عبارت سمت راست رابطه فوق برابر یک است،از طرفی با توجه به قضیه دیورژانس خواهیم داشت : الگو:چپ‌چین $\underset{\partial S_{\beta }}{\int }\delta (x,s).ndl=1$ ⇒ $\underset{\partial S_{\beta }}{\int }\frac{\mathrm{\partial }\mathrm{G}}{\mathrm{\partial }\mathrm{n}}(x,s)dl=1$ الگو:پایان چپ‌چین که $n=e_r$ بردار یکه در راستای شعاع و $dl=rd\theta$ است .لذا داریم : الگو:چپ‌چین

$\underset{ϵ\to 0}{\lim }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{\mathrm{\partial }\mathrm{G}}{\mathrm{\partial }\mathrm{r}}r{|}_{r=ϵ}d\theta =1$ الگو:پایان چپ‌چین

با محاسبه انتگرال فوق تابع گرین بدست خواهد آمد که به فرم زیر است : الگو:چپ‌چین $G(x,s)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}ln|x-s|$ الگو:پایان چپ‌چین با تکرار همین روند برای حالت سه بعدی داریم : $n=e_r$ , $ds=r^{2}sin(\phi )d\theta$ : الگو:چپ‌چین

$\underset{ϵ\to 0}{\lim }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{\mathrm{\partial }\mathrm{G}}{\mathrm{\partial }\mathrm{r}}{r}^2{|}_{r=ϵ}sin\phi d\theta d\phi =1$ الگو:پایان چپ‌چین با محاسبه عبارت فوق تابع گرین سه بعدی در ناحیه بی کران به فرم زیر خواهد شد : الگو:چپ‌چین $G(x,s)=\frac{\mathrm{-}\mathrm{1}}{\mathrm{4}\mathrm{\pi }\mathrm{|}\mathrm{x}\mathrm{-}\mathrm{s}\mathrm{|}}$ الگو:پایان چپ‌چین

روش تعیین پاسخ صریح برای تابع گرین

1.تعیین دو جواب مستقل خطی از معادله همگن به نام $u_R(x),u_L(x)$ به‌طوری که $u_L(x)$ در شرط مرزی مربوط به نقطه a و $u_R(x)$ هم در شرط مرزی همگن مربوط به نقطه b صدق کند. الگو:سرخط 2.تابع گرین را به فرم زیر بنویسید ;الگو:چپ‌چین

$G(x,s)=\{\begin{array}{cc}{c}_L(s)u_L(x),& a\le x\le s,\\ c_R(s)u_R(x),& s\le x\le L.\end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین 3.شرط پیوستگی G(x,s)را در x=s اعمال کنید;الگو:چپ‌چین $c_L(s)u_L(s)=c_R(s)u_R(s)$ الگو:پایان چپ‌چین 4.شرط پرش $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}G(x,s)$ را در x=s اعمال کنید;الگو:چپ‌چین $c_R(s)\frac{\mathrm{d}{\mathrm{u}}_{\mathrm{R}}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}(s)-c_L(s)\frac{\mathrm{d}{\mathrm{u}}_{\mathrm{L}}}{\mathrm{d}\mathrm{x}}(s)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{p}\mathrm{(}\mathrm{s}\mathrm{)}}$ الگو:پایان چپ‌چین 5.با حل روابط در مرحله 3و 4 مقادیر $c_L(s),c_R(s)$ بدست خواهند آمد که به صورت زیر اند; الگو:چپ‌چین $c_L(s)=\frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{R}}\mathrm{(}\mathrm{s}\mathrm{)}}{\mathrm{p}\mathrm{(}\mathrm{s}\mathrm{)}\mathrm{W}\mathrm{(}\mathrm{s}\mathrm{)}}$ , $c_R(s)=\frac{{\mathrm{u}}_{\mathrm{L}}\mathrm{(}\mathrm{s}\mathrm{)}}{\mathrm{p}\mathrm{(}\mathrm{s}\mathrm{)}\mathrm{W}\mathrm{(}\mathrm{s}\mathrm{)}}$ الگو:پایان چپ‌چین که W(s) رونسکین جواب های معادله همگن در نقطه s است.

مثال

معادله مستقل از زمان گرما را در نظر بگیرید. الگو:چپ‌چین $\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}\mathrm{u}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}}{\mathrm{d}{x}^2}=f(x)$ الگو:پایان چپ‌چین با شرایط مرزی $u(0)=u(L)=0$.ما جواب این مسئله را میتوانیم به فرم زیر بنویسیم:الگو:چپ‌چین $\underset{0}{\overset{L}{\int }}f(s)G(x,s)ds$ الگو:پایان چپ‌چین که تابع گرین در رابطه زیر صدق میکند:الگو:چپ‌چین $\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}\mathrm{G}\mathrm{(}\mathrm{x},\mathrm{s}\mathrm{)}}{\mathrm{d}{x}^2}=\delta (x-s)$ الگو:پایان چپ‌چین با شرایط مرزی $G(0,s)=0=G(L,s)$. حال با توجه به تعریف تابع دلتای دیراک در $x=s$ داریم:الگو:چپ‌چین

$G(x,s)=\{\begin{array}{cc}a+bx,& x<s,\\ c+dx,& s<x.\end{array}$

الگو:پایان چپ‌چین با اعمال شرایط مرزی مسئله خواهییم داشت $a=c=0$ و تابع گرین به فرم زیر خواهد شد:الگو:چپ‌چین

$G(x,s)=\{\begin{array}{cc}bx,& x<s,\\ d(x-L),& s<x.\end{array}$

با توجه به خاصیت پیوستگی تابع G در نقطه $x=s$ داریم:الگو:چپ‌چین $bs=d(s-L)$ الگو:پایان چپ‌چین همچنین با شرط پرش روی مشتق در نقطه ی $x=s$ داریم: $d-b=1$الگو:سرخط با حل دستگاه مقادیر b,d بدست خواهند آمد;$b=\frac{\mathrm{(}\mathrm{s}\mathrm{-}\mathrm{L}\mathrm{)}}{\mathrm{L}}$ و $d=\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{L}}$ الگو:سرخط با جایگذاری مقادیر $b$و $d$ در معادله داریم :الگو:چپ‌چین

$G(x,s)=\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{L}}(s-L),& 0\le x\le s,\\ \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{L}}(x-L),& s\le x\le L.\end{array}$

منابع

• الگو:یادکرد-ویکی