چگالی حامل بار

چگالی حامل بار که به عنوان غلظت حامل نیز شناخته می‌شود، تعداد حامل های بار را در هر حجم نشان می‌دهد. در واحد دستگاه بین‌المللی یکاها SI، بر حسبm⁻³ اندازه‌گیری می‌شود. مانند هر چگالی دیگری، چگالی حامل بار نیز در اصل به موقعیت بستگی دارد. با این حال، معمولاً غلظت حامل بار به صورت یک عدد گزارش می‌شود که میانگین چگالی حامل بار را در کل ماده نشان می‌دهد. چگالی حامل بار شامل معادلات مربوط به رسانایی الکتریکی و پدیده‌های مرتبط مانند هدایت حرارتی، و پیوندهای شیمیایی (مانند پیوند کووالانسی) است.

محاسبات

چگالی حامل معمولاً از نظر تئوری با انتگرال‌گیری چگالی حالت‌ها در محدوده انرژی حامل‌های بار در ماده به دست می‌آید (مثلاً انتگرال روی نوار رسانایی برای الکترون‌ها، انتگرال بر روی نوار ظرفیت برای حفره‌ها).

اگر تعداد کل حامل‌های بار مشخص باشد، چگالی حامل را می‌توان به سادگی با تقسیم بر حجم پیدا کرد. برای نشان دادن این موضوع از دید ریاضی، برای محاسبه چگالی حامل بار در کل ماده، ابتدا چگالی یک ذره در نظر گرفته می‌شود. بنابراین با انتگرال‌گیری از چگالی یک ذره در حجم کل ماده ($V$)، تعداد حامل‌های بار ($N$) را در آن حجم نشان می‌دهد.

$$N=\underset{V}{\int }n(𝐫)dV.$$

که در آن $n(𝐫)$ چگالی حامل مستقل از مکان است. چگالی حامل بار $n(𝐫)$ وابسته به موقعیت است. اگر چگالی به موقعیت وابسته نباشد، برابر است با:

$$N=V\cdot n_0.$$

نیمه‌هادی‌ها

چگالی حامل برای نیمه‌هادی‌ها مهم است. طبق نظریه باند، چگالی الکترون، برابر است با تعداد الکترون‌ها در واحد حجم در نوار رسانایی. هم‌چنین برای حفره‌ها، این چگالی برابر با تعداد حفره‌ها در واحد حجم در نوار ظرفیت است.

برای محاسبه این عدد برای الکترون‌ها، با این فرض شروع می‌کنیم که چگالی کل الکترون‌های باند هدایت، فقط چگالی الکترون‌های رسانش را در انرژی‌های مختلف از پایین نوار به بالای نوار در نوار جمع می‌کند.

$$n_0=\underset{E_c}{\overset{E_{\text{top}}}{\int }}N(E)dE$$

از آنجایی که الکترون‌ها فرمیون هستند، چگالی الکترون‌های رسانا در هر انرژی خاص، $N(E)$ حاصل چگالی حالات است، $g(E)$ یا چند حالت رسانش با توزیع فرمی-دیراک امکان پذیر است، $f(E)$ که کسری از حالت‌های دارای الکترون را مشخص می‌کند.

$$N(E)=g(E)f(E)$$

برای ساده‌تر کردن محاسبه، به جای اینکه الکترون‌ها را به‌عنوان فرمیون در نظر بگیریم، طبق توزیع فرمی دیراک، آنها را به‌عنوان یک گاز کلاسیک غیر متقابل در نظر می‌گیریم که با توزیع ماکسول-بولتزمن به دست می‌آید.این تقریب زمانی که $|E-E_f|\gg k_{\text{B}}T$ دارای اثرات ناچیز است که برای نیمه هادی های نزدیک به دمای اتاق صادق است. این تقریب در دماهای بسیار پایین یا یک باند شکاف بسیار کوچک نامعتبر است.

$$f(E)=\frac{1}{1+e^{\frac{E-E_f}{k_{\text{B}}T}}}\approx e^{-\frac{E-E_f}{k_{\text{B}}T}}$$

چگالی سه‌بعدی حالت‌ها برابر است با:

$$g(E)=\frac{1}{2{\pi }^2}{\left(\frac{2m^{*}}{{\hslash }^2}\right)}^{\frac{3}{2}}\sqrt{E-E_0}$$

پس از ترکیب و ساده‌سازی عبارات فوق، رابطه زیر منتج می‌شود:

$$n_0=2{\left(\frac{m^{*}{k}_{\text{B}}T}{2\pi {\hslash }^2}\right)}^{3/2}{e}^{-\frac{E_c-E_f}{k_{\text{B}}T}}$$

در اینجا $m^{*}$ جرم مؤثر الکترون‌ها در نیمه‌هادی و $E_c-E_f$ تفاوت انرژی بین نوار رسانایی و سطح فرمی است که نصف فاصله باند ($E_g$) است:

$$E_g=2(E_c-E_f)$$

برای حفره‌ها نیز می‌توان رابطه مشابهی را به دست آورد. غلظت حامل را می‌توان با رفتار الکترون‌هایی که به جلو و عقب در سراسر شکاف باند حرکت می‌کنند، (مانند تعادل یک واکنش برگشت‌پذیر در شیمی) محاسبه کرد که منجر به قانون عمل جرم الکترونیکی (Mass Action Law) می‌شود. این قانون کمیت $n_i$ را تعریف می کند که غلظت حامل ذاتی نامیده می‌شود. برای مواد دوپ نشده این کمیت برابر است با:

$$n_i=n_0=p_0$$

جدول زیر چند نمونه از غلظت حامل ذاتی برای نیمه‌هادی‌های ذاتی را به ترتیب افزایش فاصله باند نشان می‌دهد.

ماده	چگالی بار (1/cm3) در ۳۰۰ کلوین
ژرمانیم	الگو:Val
سیلیسیم	الگو:Val
گالیم آرسنید	الگو:Val
3C-SiC	الگو:Val
6H-SiC	الگو:Val
4H-SiC	الگو:Val
گالیم نیترید	الگو:Val
الماس	الگو:Val

اگر این مواد دوپ شوند، مقادیر غلظت حامل‌ها تغییر می‌کند. به عنوان مثال، دوپینگ سیلیسیم خالص با مقدار کمی فسفر، چگالی حامل الکترون‌ها را افزایش می‌دهد.

فلزات

چگالی حامل برای فلزات نیز قابل استفاده است. در این حالت می توان این کمیت را با مدل ساده درود تخمین زد. در این مورد، چگالی حامل (در مورد فلزات، چگالی الکترون آزاد نیز نامیده می‌شود) را می‌توان با رابطه زیر نشان داد:

$$n=\frac{N_{\text{A}}Z{\rho }_m}{m_a}$$

که $N_{\text{A}}$ ثابت آووگادرو، $Z$ تعداد الکترون‌های ظرفیت، ${\rho }_m$ چگالی ماده و $m_a$ جرم اتمی است. از آن‌جایی که فلزات می‌توانند چندین عدد اکسایش را نشان دهند، تعریف دقیق تعداد «الکترون ظرفیت» یک عنصر تا حدودی دلخواه است. در جدول زیر، چگالی الکترون‌های آزاد برخی از عناصر از کتاب اشکرافت و مرمین آورده شده است. این اعداد بر اساس رابطه بالا، فرضیاتی در مورد ظرفیت، ($Z$) و داده‌های تجربی کریستالوگرافی برای چگالی، (${\rho }_m$) محاسبه شده است.

ماده	تعداد الکترون ظرفیت	چگالی حامل (1/cm3) در ۳۰۰ کلوین
مس	۱	الگو:Val
نقره	۱	الگو:Val
طلا	۱	الگو:Val
برلیم	۲	الگو:Val
منیزیم	۲	الگو:Val
کلسیم	۲	الگو:Val
استرانسیم	۲	الگو:Val
باریم	۲	الگو:Val
نایوبیم	۱	الگو:Val
آهن	۲	الگو:Val
منگنز	۲	الگو:Val
روی	۲	الگو:Val
کادمیم	۲	الگو:Val
آلومینیم	۳	الگو:Val
گالیم	۳	الگو:Val
ایندیم	۳	الگو:Val
تالیم	۳	الگو:Val
قلع	۴	الگو:Val
سرب	۴	الگو:Val
بیسموت	۵	الگو:Val
آنتیموان	۵	الگو:Val

مقادیر n در میان فلزات اغلب در همین محدوده هستند، اما این مدل ساده نمی‌تواند چگالی حامل را با دقت بسیار بالا پیش‌بینی کند.

اندازه‌گیری

چگالی حامل های بار را می‌توان در بسیاری از موارد با استفاده از اثر هال تعیین کرد که در آن ولتاژ با چگالی حامل بار، نسبت معکوس دارد.