پیش‌نویس:محاسبه فاصله کوازار

الگو:AfC submission کمیت فاصله کوازار ها از زمین ، مهم ترین کمیت اخترفیزیکی است که با توجه به دو فرمول بدست می آیند. از طریق این دو فرمول به راحتی میتوان فاصله یک کوازار را با توجه به رد شیفت آن بدست آورد ، در صورتی که $z>0.1$ باشد ، میتوان از دو فرمولی که در این مقاله نوشته شده است ، استفاده کرد! فرمول اول از طریق اثر دوپلر نسبیتی و قانون هابل بدست آمده است که فاصله کوازار را بر حسب مگا پارسک به ما میدهد!

فرمول دوم یک فرمول انتگرالی دقیق است که توسط چهار کیهان شناس بزرگ به نام های الکساندر فریدمن ، جورج لومتر ، هاوارد پرسی رابرتسون ، جرج گامو واکر نوشته شده است ، یک فرمول پیچیده تری است که از پارامتر های مهم کیهان شناسی استفاده کرده است!که آن هم فاصله را بر حسب مگا پارسک به ما می دهد.

در این مقاله به طور دقیق به توضیح این دو فرمول پرداخته میشود!

فرمول اول

این فرمول مروبط به اثر دوپلر نسبیتی و قانون هابل است، به طوری که ابتدا از طریق رد شیفت سرعت دور شدن کوازار بدست می آید و سپس از طریق قانون هابل میتوان فاصله آن را بر حسب مگا پارسک بدست آورد! فرمول مذکور به این صورت است :

• فرمول اثر دوپلر نسبیتی : $\frac{{\lambda }^{\prime }}{\lambda }=\sqrt{\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}}$ $⟸$ فرمول اثر دوپلر که متشکل از $z$ است :$v=c\left(\frac{(1+z{)}^2-1}{(1+z{)}^2+1}\right)$

• فرمول قانون هابل : $v=Hd$ $⟸$ فرمول هابل بر حسب فاصه :$d=\frac{v}{H}$

سپس به جای $v$ فرمول اثر دوپلر را قرار می دهیم و نتیجه به این صورت میباشد :

$d=\frac{c}{H}\left(\frac{(1+z{)}^2-1}{(1+z{)}^2+1}\right)$ که از این فرمول میتوان برای بدست آوردن مقدار تقریبی فاصله کوازار ویا هر جسم دور دست مانند خوشه های بیرونی و یا کهکشان های بیرونی ، استفاده کرد!

فرمول دوم

همانطور که گفته شد ، این یک فرمول انتگرالی دقیق است که تمام پارامتر های کیهانی را مورد بحث قرار داده است، برای مثال در فرمول از چگالی ماده و چگالی انرژی استفاده شده است! فرمول آن به این شکل میباشد :

$D=\frac{c}{H}\underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{d{z}^{\prime }}{\sqrt{{\mathrm{\Omega }}_m(1+z^{\prime }{)}^3+{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}}}$

که در اینجا : ${\mathrm{\Omega }}_m$ چگالی ماده=0.3 ، ${\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}$ چگالی انرژی تاریک = 0.7

برای حل این انتگرال، از تکنیکی به نام انتگرال گیری مرجع استفاده می‌کنیم. این انتگرال به نوع خاصی از انتگرال‌ها معروف به انتگرال کوازارطیفی تعلق دارد ، این عبارت را بدست می آوریم :

$\int \frac{dz}{\sqrt{{\mathrm{\Omega }}_m(1+z{)}^3+{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}}}=\frac{2}{3{\mathrm{\Omega }}_m^{1/2}}{\sinh }^{-1}\left(\sqrt{\frac{{\mathrm{\Omega }}_m}{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}(1+z{)}^3}}\right)$

پس در نتیجه فرمول نهایی برای بدست آوردن فاصله یک کوازار ، به این گونه میباشد :

$d=\frac{2c}{H3{\mathrm{\Omega }}_m^{1/2}}{\sinh }^{-1}\left(\sqrt{\frac{{\mathrm{\Omega }}_m}{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Lambda }}(1+z{)}^3}}\right)$

جستارهای وابسته

• اختروش