پیش‌نویس:دایره یک بینهایت ضلعی

الگو:AfC submission تمامی اشکال هندسی دارای ضلع و زاویه هستند مثل مثلث , مربع و . . . . البته به جز دایره اما اگر اینطور نباشد چطور ؟!

یک بینهایت ضلعی

در واقع می توان گفت که داره یک بینهایت ضلعی منتظم است . ویژگی های یک بینهایت ضلعی منتظم:

. زاویه یک بینهایت ضلعی منتظم به $180$ درجه میل پیدا می کند در نتیجه اضلاع شکل به $0$ میل پیدا می کنند:

$\underset{x\to 0}{\lim }x=0$ $⟹$$\underset{\alpha \to 180}{\lim }\alpha =180$ که $x$ ضلع و $\alpha$ زاویه است .

اثبات

برای اینکه اثبات شود دایره یک بینهایت ضلعی منتظم است پس باید اثبات کنیم که تعداد نقاط روی محیط دایره بینهایت است:

زاویه $\alpha$ از دایره را در نظر بگیرید که با دو شعاع $r$ و $r_2$ با محیط دایره در تماس است و کمان $b$ را می سازد . فرض کنید زاویه $\alpha$ بین $40$ درجه تا $60$ درجه باشد . می دانیم که مجموعه اعداد $40$ تا $60$ بینهایت عضو دارد پس اگر شعاع $r$ ثابت باشد و با تغییر زاویه فقط شعاع $r_2$ پس با بینهایت عددی که زاویه $\alpha$ می تواند اختیار کند بینهایت حالت هم شعاع $r_2$ می تواند اختیار کند پس بینهایت نقطه روی تفاضل کمان $60$ درجه و $40$ قرار دارد پس بینهایت نقطه روی کل محیط دایره قرار دارد .

حال دو نقطه را روی محیط دایره در نظر بگیرید به حتم بینهایت نقطه بین ان دو وجود خواهد داشت پس زاویه به $180$ میل پیدا می کند و اضلاع به 0 میل پیدا می کنند که اینها ویژگی های یک بینهایت ضلعی منتظم است . پس دایره و بینهایت ضلعی منتظم یکی هستند .

محاسبه مساحت

روش اول :

یک نیم دایره را در نظر بگیرید برای محاسبه کردن مساحت ان باید انتگرال یک نیم دایره را ضربدر $2$ کنیم : $2\underset{-r}{\overset{r}{\int }}f(x)dx$

تابعی که یک چهارم دایره را پوشش دهد برابر است با : $f(x)=\sqrt{r^2-x^2}$

حال داریم  : $2\underset{-r}{\overset{r}{\int }}f(x)dx=2\underset{-r}{\overset{r}{\int }}\sqrt{r^2-x^2}dx=2\int \sqrt{r^2-x^2}dx=2\frac{\sqrt{r^2-x^2}}{In(r^2-x^2)}+C$ البته $r$ شعاع دایره است .

روش دوم : می دانیم که دایره یک بینهایت ضلعی منتظم است که از فرمول روبرو بدست می اید : $S=\frac{aP}{2}$ ($a$ ارتفاع چند ضلعی منتظم $p$ محیط چند ضلعی منتظم)

در دایره و یک بینهایت ضلعی منتظم داریم : $P=2r\pi$ , $a=r$ پس داریم : $S=r^2\pi$

منابع

کتاب : هندسه مسطحه

ایده اصلی و نو از نویسنده است با تشکر Pouya.dynamic رده:مقاله‌های ایجاد شده توسط ایجادگر الگو:پیش‌نویس‌های منتقل‌شده از فضای نام اصلی