پیش‌نویس:برابری دو مجموعه نامتناهی

الگو:AfC submission مجموعه ها گروهی از اشیا , اعداد و . . . هستند که اعضای انها ویژگی های مشترکی دارند . مجموعه ها یا متناهی هستند و یا نامتناهی البته خود مجموعه تعریف مشخصی ندارد ما فقط ویژگی های ان رو می دونیم .

یک مجموعه نامتناهی دارای بینهایت ($\mathrm{\infty }$) عضو هست . حال ایا می توان گفت تعداد اعضای مجموعه اعداد گویا برابر با اعضای مجموعه اعداد گنگ هست یا یکی تعداد اعضای بیشتری دارد ؟

دو مجموعه نامتناهی را در نظر بگیرید مانند مجموعه اعداد زوج و فرد :

$A=\{1,3,5,7,...\}$

$B=\{2,4,6,8,...\}$

حال برای اینکه تعیین کدام بزرگتر است باید یک استراتژی خاص رو در نظر بگیریم : عدد q را در نظر بگیرید حال هر دو مجموعه را به زیر مجموعه های q عضوی تبدیل می کنیم و نام اولین زیر مجموعه A را $A_1$ و نام زیر مجموعه دوم رو $A_2$ و . . .  :

$A=\{1,3,5,...,n_q\}\cup \{n_e,...,n_x\}\cup \{n_r,...,n_i\}...$

و همینطور برای مجموعه B داریم :

$B=\{2,4,6,...,m_q\}\cup \{m_e,...,m_x\}\cup \{m_r,...,m_i\}...$

به طوری که $e=q+1,x=2q+1,r=2q+2,i=3q+2$

حال هر زیرمجموعه با شماره یکسان را به هم وصل می کنیم ($A_1$ را به $B_1$ و $A_2$ را به $B_2$ و . . .):

$A=\{1,3,5,...,n_q\}\cup \{n_e,...,n_x\}\cup \{n_r,...,n_i\}...$

$⟹\{1,3,...,n_q\}and\{2,4,...,m_q\}$

$B=\{2,4,6,...,m_q\}\cup \{m_e,...,m_x\}\cup \{m_r,...,m_i\}...$

با این استراتژی و توجه به مفهوم بینهایت باید به هر زیرمجموعه یک فلش وصل باشد یعنی برای هر $A_t$ به حتم یک $B_t$ وجود دارد که با فلش وصل هستند . پس تعداد زیر مجموعه های دو مجموعه A و B یکسان در نتیجه تعدا اعضای انها نیز برابرند .

پارادوکس

حال ایا دو مجموعه نامتناهی که یک زیر مجموعه دیگری است از نظر تعداد اعضا برابرند ؟

برای مثال مجموعه اعداد طبیعی و اعداد اول را در نظر بگیرید :

$\mathrm{\aleph }=\{1,2,3,4,5,...\}$

$C=\{2,3,5,7,...\}$

با همان استراتژی گفته شده می توان اثبات کرد که این دو مجموعه تعداد اعضای برابری دارند در حالی که یکی زیر مجموعه ی دیگری است از این موضوع می توان استفاده های زیادی در ریاضیات کرد.

مثال

دو عبارت روبرو را در نظر بگرید به راستی کدام بزرگتر است ؟ یا مساوی اند ؟

$\sum _{n=2}^{B}n$ و $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k$

(منظور از B اعداد طبیعی زوج است)در نظر اول بیشتر افراد فکر می کنند که $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k$ بزرگتر است اما بیایید که با استراتژی گفته شده سوال رو حل کنیم :

q رو 2 در نظر می گیریم :

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k=(1+2)+(3+4)+(5+6)+...$

$\sum _{n=1}^{B}n=(2+4)+(6+8)+(10+12)+...$

حال اگر ان زیرمجموعه ها که (پرانتز) شماره یکسان دارند را به هم وصل کنیم می بینیم تعداد پرانتز ها برابر است و جمع پرانتز های $\sum _{n=2}^{B}n$ همواره بیشتر از جمع پرانتز های $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}k$ در واقع از هر دو پرانتز متناظر جمع ان پرانتزی بیشتر است که تشکیل دهنده عبارت $\sum _{n=2}^{B}n$ است . پس جمع اعداد زوج طبیعی بیشتر از جمع اعداد طبیعی است !!

منبع

کتاب نظریه اعداد پایه

کتاب جبر

ایده اصلی و نو از نویسنده است .با تشکر Pouya.dynamic . رده:مقاله‌های ایجاد شده توسط ایجادگر الگو:پیش‌نویس‌های منتقل‌شده از فضای نام اصلی