همبستگی جزئی

تعبیر هندسی همبستگی جزئی: همبستگی جزئی همبستگی بین دو بردار باقی‌مانده r_X و r_Y را پیدا می‌کند که مولفهٔ در راستای بردار سوم z آن‌ها حذف شده‌است.

در آمار و احتمال، همبستگی جزئی یا همبستگی پاره‌ای میزان پیوستگی بین دو متغیر تصادفی را اندازه می‌گیرد در حالی که تأثیر دیگر متغیرها حذف شده‌اند.

همبستگی جزئی بین دو متغیر X و Y زمانی که n متغیر کنترل Z = {Z₁, Z₂, … , Z_n} داده شده‌اند به صورت ρ_XY·Z نمایش داده می‌شود و برابر با ضریب همبستگی بین باقیمانده‌های R_X وR_Y حاصل از رگرسیون خطی X برحسب Z و Y برحسب Z است.

به عبارت دقیق‌تر، ابتدا دو رگرسیون خطی زیر انجام می‌شوند:

${𝐰}_X^{*}=\arg \underset{𝐰}{\min }\{\sum _{i=1}^N(x_i-⟨𝐰,{𝐳}_i⟩{)}^2\}$

${𝐰}_Y^{*}=\arg \underset{𝐰}{\min }\{\sum _{i=1}^N(y_i-⟨𝐰,{𝐳}_i⟩{)}^2\}$

که در آن N اندازهٔ نمونه و $⟨𝐯,𝐰⟩$ ضرب داخلی بین دو بردار v و w را نشان می‌دهد. سپس باقیمانده‌ها به صورت زیر حساب می‌شوند:

$r_{X,i}=x_i-⟨{𝐰}_X^{*},{𝐳}_i⟩$

$r_{Y,i}=y_i-⟨{𝐰}_Y^{*},{𝐳}_i⟩$

و همبستگی جزئی نمونه به صورت زیر محاسبه می‌شود:

${\hat{\rho }}_{XY\cdot 𝐙}=\frac{N\sum _{i=1}^N{r}_{X,i}{r}_{Y,i}-\sum _{i=1}^N{r}_{X,i}\sum _{i=1}^N{r}_{Y,i}}{\sqrt{N\sum _{i=1}^N{r}_{X,i}^2-{\left(\sum _{i=1}^N{r}_{X,i}\right)}^2}\sqrt{N\sum _{i=1}^N{r}_{Y,i}^2-{\left(\sum _{i=1}^N{r}_{Y,i}\right)}^2}}.$

منابع

• الگو:یادکرد کتاب
• Wikipedia contributors, "Partial correlation," Wikipedia, The Free Encyclopedia, (accessed February 15, 2014).