هماهنگ‌های کروی

در ریاضیات، هماهنگ‌های کروی بخش زاویه‌ای مجموعه‌ای از جواب‌های متعامد برای معادله لاپلاس هستند که در دستگاه مختصات کروی بیان شده است. هماهنگ‌های کروی کاربردهای نظری و عملی زیادی دارند، به ویژه در محاسبهٔ ترازهای الکترونی اتم‌ها، نمایش میدان‌های گرانشی، میدان مغناطیسی سیارات و تابش زمینه کیهانی. در گرافیک رایانه‌ای سه‌بعدی، هماهنگ‌های کروی نقش خاصی را در مسائل گوناگونی بازی می‌کنند، مانند نورپردازی غیرمستقیم و تشخیص اشیای سه‌بعدی.

مقدمه

هماهنگ‌های کروی حقیقی، Y_lm، برای l=0 تا l=4 (بالا به پایین) و m=0 تا m=4 (چپ به راست).

معادله لاپلاس در مختصات کروی به شکل زیر است:

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta })+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\phi }^2}=0$

با تبدیل الگو:چرf(r,θ،φ)=R(r)Θ(θ)Φ(φ)الگو:چر ، بخش زاویه‌ای معادلهٔ لاپلاس در شرط زیر صدق می‌کند:

$\frac{\mathrm{\Phi }(\phi )}{\sin \theta }\frac{d}{d\theta }(\sin \theta \frac{d\mathrm{\Theta }}{d\theta })+\frac{\mathrm{\Theta }(\theta )}{{\sin }^2\theta }\frac{d^2\mathrm{\Phi }}{d{\phi }^2}+l(l+1)\mathrm{\Theta }(\theta )\mathrm{\Phi }(\phi )=0.$

با به‌کاربردن روش جداسازی متغیرها به دو معادله دیفرانسیل زیر می‌رسیم:

$\frac{1}{\mathrm{\Phi }(\phi )}\frac{d^2\mathrm{\Phi }(\phi )}{d{\phi }^2}=-m^2$

$l(l+1){\sin }^2(\theta )+\frac{\sin (\theta )}{\mathrm{\Theta }(\theta )}\frac{d}{d\theta }[\sin (\theta )\frac{d\mathrm{\Theta }}{d\theta }]=m^2$

برای هر m و l. بنابراین می‌توان نشان داد که بخش زاویه‌ای جواب، حاصل‌ضرب توابع مثلثاتی و توابع وابسته لژاندر هستند:

$Y_{\ell }^m(\theta ,\phi )=N{e}^{im\phi }{P}_{\ell }^m(\cos \theta ),$

که در آن $Y_{\ell }^m$ هماهنگ کروی درجهٔ $\ell$ و مرتبهٔ m خوانده می‌شود و $P_{\ell }^m$ تابع وابسته لژاندر است، N ثابت بهنجارش است و θ و φ به ترتیب زاویه با محور z (متمم عرض جغرافیایی) و زاویهٔ قطبی (طول جغرافیایی) هستند.

منابع

• E.W. Hobson, The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics, (1955) Chelsea Pub. Co., الگو:ISBN.

پیوند به بیرون

• هماهنگ‌های کروی در وب‌گاه MathWorld