معادله کوشی–اویلر

معادله کوشی-اویلر الگو:انگلیسی یا معادله اویلر-کوشی به معادله دیفرانسیل معمولی خطی همگن با ضرایب متغیر گفته می‌شود. این معادله به صورت زیر بیان می‌شود:

$t^2{u}^{″}+bt{u}^{\prime }+cu=0$

اگر جواب معادله را به صورت $u=t^m$ در نظر بگیریم، به معادله مشخصه زیر می‌رسیم:

$m(m-1)+bm+c=0$

• اگر معادله مشخصه دارای دو ریشه حقیقی $m_1$ و $m_2$ باشد به دو جواب مستقل $t^{m_1}$ و $t^{m_2}$ منجر می‌شود. بنابراین جواب کلی معادله به صورت زیر خواهد بود:

$u=c_1{t}^{m_1}+c_2{t}^{m_2}$

• اگر معادله مشخصه دو ریشهٔ برابر داشته باشد، $t^m$ و $t^{m}lnt$ دو جواب مستقل خواهند بود

$u=c_1{t}^m+c_2{t}^{m}lnt$

• اگر معادله مشخصه دارای جواب حقیقی نباشد ($m=\alpha \pm i\beta$)، جواب کلی به صورت زیر درمی‌آید:

الگو:چر$u=c_1{t}^{\alpha }cos(\beta lnt)+c_2{t}^{\alpha }sin(\beta lnt)$الگو:چر

منابع

• J. David Logan, A First Course in Differential Equations, Springer Science+Business Media, Inc. , United States of America, 2006. الگو:ISBN

جستارهای وابسته

• یادواره‌های لئونارد اویلر