مشتق لی

در ریاضیات ٬ مشتق لی که به افتخار سوفوس لی نام‌گذاری شده است٬ تغییر یک میدان تانسوری ( در حالت کلی٬شامل میدان نرده‌ای و میدان برداری و یک-فرم)را در جهت یک شارش یک میدان برداری دیگر به‌دست می‌دهد. این تغییر در دستگاه ها مختصات مختلف ناوردا است و به همین دلیل مشتق لی بر روی هر منیفلد دیفرانسیل‌پذیر تعریف می‌شود.

تعریف

مشتق لی یک تابع

چند تعریف برای مشتق لی یک تابع وجود دارد.

• می‌توان مشتق لی رابراساس تعریف میدان‌های برداری به عنوان عملگرهای دیفرانسیلی مرتبه اول تعریف کرد. با فرض تابع الگو:Nowrap و یک میدان برداری $X$ تعریف شده روی M ٬ مشتق لی ${ℒ}_{X}f$ یک تابع در راستای میدان$X$ با اعمال میدان به دست می‌آید.می‌توان آن را مشتق جهت‌دار $f$ در راستای $X$ پنداشت.ینابراین در یک نقطه الگو:Nowrap داریم:

$({ℒ}_{X}f)(p)\triangleq X_p(f)\triangleq (Xf)(p)$

براساس تعریف مشتق‌گیری ٬می‌توان این مشتق را روی M چنین نیز نوشت:

$({ℒ}_{X}f)(p)\triangleq \mathrm{d}{f}_p(X_p)$

با انتخاب مختصات x^a و با نوشتن :$X=X^a{\partial }_a$ که در آن ${\partial }_a=\frac{\partial }{\partial x^a}$ بردارهای یکه برای دسته(باندل) مماس‌ها هستند٬ خواهیم داشت:

$({ℒ}_{X}f)(p)=X^a(p)({\partial }_{a}f)(p)$.

مشتق لی یک میدان برداری

ابتدا یک براکت لی از دو میدان برداری X و Y‌تعریف می‌کنیم. یک تعریف عبارت است از:

${ℒ}_{X}Y=[X,Y]$

الگو:پایان چپ‌چین تعریف‌های دیگر چنین‌اند: ( ${\mathrm{\Phi }}_t^X$ تبدیل شار(فلو)‌و d عملگر نگاشت مماس مشتق است) الگو:چپ‌چین

$({ℒ}_{X}Y{)}_x:=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{(\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_{-t}^X)Y_{{\mathrm{\Phi }}_t^X(x)}-Y_x}{t}={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}(\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_{-t}^X)Y_{{\mathrm{\Phi }}_t^X(x)}$

${ℒ}_{X}Y:={\frac{1}{2}\frac{{\mathrm{d}}^2}{{\mathrm{d}\mathrm{t}}^2}|}_{t=0}{\mathrm{\Phi }}_{-t}^Y\circ {\mathrm{\Phi }}_{-t}^X\circ {\mathrm{\Phi }}_t^Y\circ {\mathrm{\Phi }}_t^X={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}|}_{t=0}{\mathrm{\Phi }}_{-\sqrt{t}}^Y\circ {\mathrm{\Phi }}_{-\sqrt{t}}^X\circ {\mathrm{\Phi }}_{\sqrt{t}}^Y\circ {\mathrm{\Phi }}_{\sqrt{t}}^X$