مسئله مقدار اولیه

الگو:معادلات دیفرانسیل مسئلهٔ مقدار اولیه یا مسئلهٔ مقدار آغازی به مسئله‌ای در ریاضیات گفته می‌شود که در آن هدف یافتن پاسخی از یک معادلهٔ دیفرانسیل است به طوری که این پاسخ در نقطه‌ای مفروض شرایط مشخصی را دارا باشد.مسائل مقدار اولیه در شاخه‌های مختلفی از علم ظاهر می‌شود. مثلا معادلات حرکت نیوتونی در فیزیک، نمونه‌ای از مسائل مقدار اولیه هستند. هدف این دسته از معادلات یافتن تحول سیستم با زمان بر اساس شرایط اولیه است.

مثال

یک مثال ساده می‌تواند حل معادلهٔ دیفرانسیل $y^{\prime }=0.85y$ با $y(0)=19$ باشد. هدف یافتن $y(t)$ به گونه‌ای است که در هر دو برابری صدق کند.

با توجه به اینکه $y^{\prime }=\frac{dy}{dt}$، پس

$\frac{dy}{dt}=0.85y$

الگو:پایان چپ‌چین با بازچینی معادله به طوری که $y$ در سمت چپ و $t$ در سمت راست قرار بگیرد

$\frac{dy}{y}=0.85dt$

با انتگرال‌گیری از دو طرف (که با واردشدن ثابت نامعلوم $B$ همراه است)

$\ln |y|=0.85t+B$

حذف $\ln$

$|y|=e^B{e}^{0.85t}$

با انتخاب ثابت نامعلوم جدید $C$، $C=\pm e^B$، پس

$y=C{e}^{0.85t}$

حال باید پاسخی برای $C$ پیدا کرد. از شرط $y(0)=19$ استفاده می‌کنیم و 0 جای $t$ و 19 را جای $y$ می‌گذاریم

$19=C{e}^{0.85*0}$

$C=19$

و به پاسخ نهایی $y(t)=19e^{0.85t}$ می‌رسیم.

مثال ۲

پاسخ

$y^{\prime }+3y=6t+5,y(0)=3$

به صورت زیر خواهد بود:

$y(t)=2e^{-3t}+2t+1.$

که می‌توان درستی این پاسخ را به این صورت بررسی کرد:

$\begin{array}{cc}{y}^{\prime }+3y& =\frac{d}{dt}(2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1)\\ & =(-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3)\\ & =6t+5.\end{array}$

مسئله‌های مقدار اولیه و معادلات انتگرال

مسائل مقدار اولیه در معادلات دیفرانسیل، به معادلات انتگرال ولترا منجر می‌شوند.بحث خود را با معادله‌ی ساده‌ی زیر ادامه می‌دهیم. الگو:چپ‌چین $y^{″}+A(x)y^{\prime }+B(x)y=F(x)$ الگو:پایان چپ‌چین الگو:چپ‌چین $y(a)=q_0,y^{\prime }(a)=q_1$ الگو:پایان چپ‌چین $A(x),B(x),F(x)$ توابع پیوسته در بازه‌ی [a,b] هستند.با یک بار انتگرال‌گیری از این معادله داریم: الگو:چپ‌چین $y^{\prime }(x)-q_1=-A(x)y(x)-\underset{a}{\overset{x}{\int }}[B(x^{\prime })-A^{\prime }(x^{\prime })]y(x^{\prime })d{x}^{\prime }+\underset{a}{\overset{x}{\int }}F(x^{\prime })d{x}^{\prime }+A(a)q_0$ الگو:پایان چپ‌چین با انتگرال‌گیری دوباره از رابطه‌ی بالا داریم: الگو:چپ‌چین $y(x)-q_0=-\underset{a}{\overset{x}{\int }}A(x^{\prime })y(x^{\prime })d{x}^{\prime }-\underset{a}{\overset{x}{\int }}\underset{a}{\overset{x_1}{\int }}[B(x^{\prime })-A^{\prime }(x^{\prime })]y(x^{\prime })d{x}^{\prime }d{x}_1+\underset{a}{\overset{x}{\int }}\underset{a}{\overset{x_1}{\int }}F(x^{\prime })d{x}^{\prime }d{x}_1+[A(a)q_0+q_1](x-a)$ الگو:پایان چپ‌چین با استفاده از رابطه زیر،انتگرال بالا را ساده می‌کنیم.الگو:چپ‌چین $\underset{a}{\overset{x}{\int }}\underset{a}{\overset{x_1}{\int }}F(x^{\prime })d{x}^{\prime }d{x}_1=\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t)F(t)dt$ الگو:پایان چپ‌چین اکنون معادله انتگرالی بالا به فرم زیر درمی‌آید. الگو:چپ‌چین $y(x)=q_0+[A(a)q_0+q_1](x-a)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t)F(t)dt-\underset{a}{\overset{x}{\int }}\{A(t)+(x-t)[B(t)-A^{\prime }(t)]\}y(t)dt$ الگو:پایان چپ‌چین با انتخاب هسته معادله به فرم زیر معادله‌ی به دست آمده ساده‌تر می‌شود. الگو:چپ‌چین $K(x,t)=-\{A(t)+(x-t)[B(t)-A^{\prime }(t)]\}$ الگو:پایان چپ‌چین و با انتخاب الگو:چپ‌چین $f(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t)F(t)dt+[A(a)q_0+q_1](x-a)+q_0$ الگو:پایان چپ‌چین با روابط بالا معادله‌ی انتگرالی برای این معادله‌ی دیفرانسیل به فرم زیر درمی‌آید. الگو:چپ‌چین $y(x)=f(x)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}K(x,t)y(t)dt$ الگو:پایان چپ‌چین پس مشاهده می‌کنیم که یک مسئله‌ی مقداراولیه ، به یک معادله انتگرال ولترا تبدیل می‌شود. با دوبار مشتق‌گیری از انتگرال بالا می‌توان معادله‌ی دیفرانسیل متناظر را به دست آورد. برای تعمیم معادله به دست آمده رهیافت زیر را دنبال می‌کنیم. برای یک معادله دیفرانسیل از مرتبه n می‌خواهیم معادله انتگرالی به دست آوریم. الگو:چپ‌چین $\frac{d^{n}y}{d{x}^n}+A_1(x)\frac{d^{n-1}y}{d{x}^{n-1}}+...+A_{n-1}\frac{dy}{dx}+A_n(x)y=F(x)$ الگو:پایان چپ‌چین و شرایط اولیه الگو:چپ‌چین $y(a)=q_0,y^{\prime }(a)=q_1,...,y^{(n-1)}(a)=q_{n-1}$ الگو:پایان چپ‌چین توابع$A_1(x),A_2(x),...,A_n(x),F(x)$ همگی در بازه‌ی [a,b] پیوسته‌اند. الگو:چپ‌چین $\frac{d^{n}y}{d{x}^n}=g(x)$ الگو:پایان چپ‌چین الگو:چپ‌چین $\frac{d^{n-1}y}{d{x}^{n-1}}=\underset{a}{\overset{x}{\int }}g(t)dt+q_{n-1}$ الگو:پایان چپ‌چین الگو:چپ‌چین $\frac{d^{n-2}y}{d{x}^{n-2}}=\underset{a}{\overset{x}{\int }}(x-t)g(t)dt+(x-a)q_{n-1}+q_{n-2}$ الگو:پایان چپ‌چین . . . الگو:چپ‌چین $\frac{dy}{dx}=\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{(x-t{)}^{n-2}}{(n-2)!}g(t)dt+\frac{(x-a{)}^{n-2}}{(n-2)!}{q}_{n-1}+\frac{(x-a{)}^{n-3}}{(n-3)!}{q}_{n-2}+...+(x-a)q_2+q_1$ الگو:پایان چپ‌چین الگو:چپ‌چین $y=\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{(x-t{)}^{n-1}}{(n-1)!}g(t)dt+\frac{(x-a{)}^{n-1}}{(n-1)!}{q}_{n-1}+\frac{(x-a{)}^{n-2}}{(n-2)!}{q}_{n-2}+...+(x-a)q_1+q_0$ الگو:پایان چپ‌چین با انتخاب توابع زیر شامل هسته معادله انتگرالی معادله انتگرال به فرم معادله انتگرالی ولترای نوع یک در می‌آید. الگو:چپ‌چین $K(x,t)=-{\mathrm{\Sigma }}_{k=1}^n{A}_k(x)\frac{(x-t{)}^{k-1}}{(k-1)!}$ الگو:پایان چپ‌چین الگو:چپ‌چین $f(x)=F(x)-q_{n-1}{A}_1(x)-[(x-a)q_{n-1}+q_{n-2}]A_2(x)-...-\{[\frac{(x-a{)}^{n-1}}{(n-1)!}]q_{n-1}+...+(x-a)q_1+q_0\}{A}_n(x)$ الگو:پایان چپ‌چین معادله‌ی زیر یک معادله انتگرالی ولترای نوع اول است. الگو:چپ‌چین $g(x)=f(x)+\underset{a}{\overset{x}{\int }}K(x,t)g(t)dt$ الگو:پایان چپ‌چین

جستارهای وابسته

• مسئله مقدارمرزی
• پیوستگی لیپ‌شیتس (در اثبات وجود پاسخ برای مسئلهٔ مقدار اولیه به کار می‌رود)
• مسئله کوشی

منابع

• Wikipedia contributors, "Initial value problem," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Initial_value_problem&oldid=662590329 (accessed May 21, 2015).

الگو:داده‌های کتابخانه‌ای