مختصات یاکوبی

در تئوری سیستم های ذره ای ، مختصات یاکوبی اغلب برای ساده سازی فرمول ریاضی استفاده می شوند. این مختصات به ویژه در مولکولهای چند اتمی و واکنشهای شیمیایی ، و در مکانیک سماوی رایج است. یک الگو برای تولید مختصات یاکوبی برای N جسم ممکن است بر پایه درخت دودویی باشد. در کلمات ، الگو به شرح زیر است:

یاکوبی برای مسئله دو جسم هماهنگی می کند .$𝑹=\frac{m_1}{M}{𝒙}_1+\frac{m_2}{M}{𝒙}_2$ و $𝒓={𝒙}_1-{𝒙}_2$ با $M=m_1+m_2$ .

بگذارید m _j و m _k جرم دو جسم باشند که جسم جدیدی از جرم مجازی M = m _j + m _k جایگزین می شوند. مختصات موقعیت x _j و x _k با موقعیت نسبی آنها r _jk = x _j جایگزین می شوند   −   x _k و توسط بردار به مرکز جرم آنها R _jk = ( m _j q _j + m _k q _k ) / ( m _j + m _k ). گره موجود در درخت دودویی که مربوط به جسم مجازی است m _{j را} به عنوان فرزند راست خود و m _k به عنوان فرزند چپ خود قرار داده است. منظور از کودکان نشان دهنده نسبی مختصات نقاط از x _K به x _J. مرحله بالا را برای N تکرار کنید   −   ۱ جسم ، یعنی ن   −   ۲ جسم اصلی به همراه جسم مجازی جدید.

مجموعه احتمالی مختصات یاکوبی برای مشکل چهار جسم. مختصات یاکوبی r _۱ ، r _۲ ، r _۳ و مرکز جرم R است .

برای مشکل بدن - ان نتیجه این است:

${𝒓}_{𝒋}=\frac{1}{m_{0j}}\sum _{k=1}^j{m}_k{𝒙}_{𝒌}-{𝒙}_{𝒋\mathit{+}1}(j=1,2,\dots ,N-1)$

${𝒓}_{𝑵}=\frac{1}{m_{0N}}\sum _{k=1}^N{m}_k{𝒙}_{𝒌}$

با

$m_{0j}=\sum _{k=1}^j{m}_k.$

بردار ${𝒓}_{𝑵}$ مرکز جرم جسم است:

نتیجه ای که با آن باقی مانده است ، بنابراین یک سیستم از مختصات N -۱ به طور ترجمه ای بی تحرک است ${𝒓}_1,\dots ,{𝒓}_{𝑵\mathit{-}1}$ و یک مرکز هماهنگی جمعی ${𝒓}_{𝑵}$ ، از تکرار سیستمهای دو جسم در سیستم چند جسمی.