مارپیچ طلایی

شکل حدودی اسپیرال طلائی

در هندسه اسپیرال طلائی الگو:به انگلیسی یا مارپیچ طلائی یک اسپیرال لگاریتمی است که عامل رشد آن φ نسبت طلایی است. اسپیرال طلائی بر پایه الگو:Math به ازا هر ربع چرخش گسترده‌تر یا بازگردانده‌تر به مبدا می‌شود.

فرمول

دستگاه مختصات قطبی برای اسپرال طلائی مانند اسپیرال لگاریتمی است، ولی با رشد مخصوص الگو:Math:

$r=a{e}^{b\theta }$

یا

$\theta =\frac{1}{b}\ln (r/a),$

با عدد e مانند لگاریتم، الگو:Math هست مثبت و ممتد مانند زمانی که الگو:Mathو الگو:Math طبیعی است زاویه قائمه ربع چرخش در جهت دیگر):

$e^{b{\theta }_{\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}}}=\phi$

در نتیجه الگو:Math می‌دهد

$b=\frac{\ln \phi }{{\theta }_{\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}}}.$

مقدار عددی الگو:Math بستگی دارد به اینکه زاویه سمت راست به اندازه ۹۰ درجه باشد یا $\frac{\pi }{2}$ رادیان

زاویه می‌تواند در جهت دیگر باشد و نوشتن فرمول برای مقدار مطلق $b$ (که الگو:Math می‌تواند همچنین مقدار منفی باشد) ساده‌تر است :

اعداد فیبوناچی نمایش برای اندازه مربعات ۱، ۱، ۲، ۳، ۵، ۸، ۱۳، ۲۱ و ۳۴.

$|b|=\frac{\ln \phi }{90}=0.0053468$ for الگو:Math in degrees;

$|b|=\frac{\ln \phi }{\pi /2}=0.306349$ for الگو:Math in radians.

فرمول دیگر برای لگاریتم و اسپیرال طلائی به شرح زیر است:

$r=a{c}^{\theta }$

جایی که ثابت الگو:Math می دهد:

$c=e^b$

که برای اسپرال طلائی الگو:Math می‌دهد مقدار:

$c={\phi }^{\frac{1}{90}}\doteq 1.0053611$

اگر الگو:Math به درجه اندازه‌گیری شود و

$c={\phi }^{\frac{2}{\pi }}\doteq 1.358456.$

اگر الگو:Math اندازه‌گیری شود به رادیان.

خصوصیات

اسپیرال طلائی مانند اسپیرال لگاریتمی هیچ حدی ندارد و شکل ثابتی است. روی هر نقطه از اسپیرال می‌توان به هر یک از دو سو تا بی‌نهایت حرکت کرد. از یک سو هرگز به مرکز نمی‌رسیم و از سوی خارجی نیز هرگز به انتها نمی‌رسیم. هسته اسپیرال لگاریتمی وقتی با میکروسکوپ مشاهده می‌شود همان منظره‌ای را دارد که وقتی به اندازه هزاران سال نوری به جلو می‌رویم، دارد.

جستارهای وابسته

• مارپیچ لگاریتمی
• اعداد فیبوناچی

منابع

• ویکی‌پدیا انگلیسی