ماتریس قطری‌غالب

در ریاضیات ماتریس قطری غالب ماتریسی است اگر که: برای هر سطر از ماتریس‌های قدر مطلق درایه قطر بزرگتر مساوی مجموع قدر مطلقی دیگر عناصر آن ردیف باشد. به صورت دقیق تر ماتریس A قطری غالب است اگر

$|a_{ii}|\ge \sum _{j\ne i}|a_{ij}|\text{for all }i,$

که در آن یک a_ij نشان دهنده درایه روی سطر i ام و ستون j ام است

ماتریس قطری غالب یک ماتریس وارون پذیر است

نمونه

ماتریس

$𝐀=\left[\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ 1& -3& 2\\ -1& 2& 4\end{array}\right]$

می‌دهد

$|a_{11}|\ge |a_{12}|+|a_{13}|$   چون $|3|\ge |-2|+|1|$

$|a_{22}|\ge |a_{21}|+|a_{23}|$   چون $|-3|\ge |1|+|2|$

$|a_{33}|\ge |a_{31}|+|a_{32}|$   چون $|4|\ge |-1|+|2|$.

طبق تعریف A یک ماتریس قطری غالب است چون قدر مطلق قطر اصلی آن از مجموع قدر مطلق دیگر عناصر ردیف مربوطه بیشتر ازست.

ماتریس

$𝐁=\left[\begin{array}{ccc}-2& 2& 1\\ 1& 3& 2\\ 1& -2& 0\end{array}\right]$

اما در اینجا

$|b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|$   چون $|-2|<|2|+|1|$

$|b_{22}|\ge |b_{21}|+|b_{23}|$   چون $|3|\ge |1|+|2|$

$|b_{33}|<|b_{31}|+|b_{32}|$   چون $|0|<|1|+|-2|$.

چون $|b_{11}|$ و $|b_{33}|$ کمتر از مجموع قدر مطلق دیگر عناصر مربوطه ردیف B هستند، ماتریس ما قطری غالب نیست.

ماتریس

$𝐂=\left[\begin{array}{ccc}-4& 2& 1\\ 1& 6& 2\\ 1& -2& 5\end{array}\right]$

gives

$|c_{11}|\ge |c_{12}|+|c_{13}|$   since   $|-4|>|2|+|1|$

$|c_{22}|\ge |c_{21}|+|c_{23}|$   since   $|6|>|1|+|2|$

$|c_{33}|\ge |c_{31}|+|c_{32}|$   since   $|5|>|1|+|-2|$.

طبق تعریف C قطری غالب است

یادداشت

ماتریش اکیدا قطری غالب: اگر در شرط ذکر شده در بالا علامت تساوی را برداریم (در رابطه به جای بزرگ تر مساوی،تنها بزرگتر استفاده شود)

چنین ماتریسی اکیدا قطری غالب است.

منابع

• ژن H. گلوب & Charles F. Van وام. Matrix Computations, 1996. ISBN 0-8018-5414-8
• Roger A. شاخ & Charles R. Johnson. ماتریس تجزیه و تحلیل, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2 (شومیز).

پیوند به بیرون

• PlanetMath: تعریف مسلط قطری
• PlanetMath: خواص ماتریس مسلط قطری
• Mathworld