قضیه گیرسانوف

قضیه گیرسانوف، که به قضیه کامرون-مارتین-گیرسانوف نیز موسوم است، قاعده ایست وابسته به حساب کاتوره‌ای و معادلات دیفرانسیل کاتوره‌ای (SDE). این قضیه ارتباط میان توزیع احتمال دو معادله دیفرانسیل کاتوره‌ای را بیان می‌دارد. این قضیه در نظریه کنترل بهینه کاتوره‌ای، ریاضیات مالی و حساب مالیاوین کاربرد دارد.

صورت اول قضیه:

دو معادله دیفرانسیل کاتوره‌ای زیر، با توزیع احتمالهای $\mathbb{P}$ و $\mathbb{Q}$، را درنظر بگیرید.

$$\mathbb{P}:d{X}_t=d{w}_t,\mathbb{Q}:d{X}_t=a(X_t,t)dt+d{w}_t$$در این صورت داریم :

$$E_{\mathbb{Q}}\{f(X_T)\}=E_{\mathbb{P}}\{\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}f(X_T)\},(A1)$$که در آن $\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}$ مشتق رادون-نیکودیم بوده و برای آن داریم:$$\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}=\exp \{\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{T}{\int }}a(X_t{)}^{2}dt-\underset{0}{\overset{T}{\int }}a(X_t)d{w}_t\},(A2)$$

اثبات: با گسسته‌سازی $[0,T]=\bigcup _{i=1}^N\{[t_i,t_{i+1}]\}$، بر طبق SDE اول داریم:$$\hat{\mathbb{P}}=P_{\mathbb{P}}(X_0,\dots ,X_{t_i},X_{t_{i+1}},\dots ,X_{t_N})$$$$=\prod _{i=1}^{N}P(X_{t_{i+1}}|X_{t_i})=\prod _{i=1}^N\frac{1}{\sqrt{2\pi \mathrm{\Delta }t}}\exp \{(X_{t_{i+1}}-X_{t_i}{)}^2/(2\mathrm{\Delta }t)\}=(\frac{1}{\sqrt{2\pi \mathrm{\Delta }t}}{)}^N\exp \{\sum _{i=1}^N(X_{t_{i+1}}-X_{t_i}{)}^2/(2\mathrm{\Delta }t)\}$$

از طرف دیگر برای SDE دوم می توان نوشت:$$\hat{\mathbb{Q}}=P_{\mathbb{Q}}(X_0,\dots ,X_{t_i},X_{t_{i+1}},\dots ,X_{t_N})=\prod _{i=1}^{N}P(X_{t_{i+1}}|X_{t_i})$$$$=\prod _{i=1}^N\frac{1}{\sqrt{2\pi \mathrm{\Delta }t}}\exp \{(X_{t_{i+1}}-X_{t_i}-a(X_{t_i})\mathrm{\Delta }t{)}^2/(2\mathrm{\Delta }t)\}=(\frac{1}{\sqrt{2\pi \mathrm{\Delta }t}}{)}^N\exp \{\sum _{i=1}^N(X_{t_{i+1}}-X_{t_i}-a(X_{t_i})\mathrm{\Delta }t{)}^2/(2\mathrm{\Delta }t)\}$$

بنابراین داریم:$$\frac{\hat{\mathbb{Q}}}{\hat{\mathbb{P}}}=\exp \left\{\frac{1}{2\mathrm{\Delta }t}\sum _{i=1}^N\right(X_{t_{i+1}}-X_{t_i}-a(X_{t_i})\mathrm{\Delta }t){)}^2-(X_{t_{i+1}}-X_{t_i}{)}^2\}$$$$=\exp \{\sum _{i=1}^N\frac{1}{2}a(X_{t_i}{)}^2\mathrm{\Delta }t-2(X_{t_{i+1}}-X_{t_i})a(X_{t_i})\}\stackrel{(a)}{=}\exp \{\sum _{i=1}^N\frac{1}{2}a(X_{t_i}{)}^2\mathrm{\Delta }t-\mathrm{\Delta }{w}_{t_i}a(X_{t_i})\}=\exp \{\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{T}{\int }}a(X_t{)}^{2}dt-\underset{0}{\overset{T}{\int }}a(X_t)d{w}_t\}$$برای تساوی (a) به این نکته مهم توجه شود که $\frac{\mathbb{Q}}{\mathbb{P}}$ نسبت به توزیع احتمال $\mathbb{P}$ نوشته شد، که در نتیجه آن $X_{t_{i+1}}-X_{t_i}=\mathrm{\Delta }{w}_i$. با قراردادن $\mathrm{\Delta }t\to 0$ رابطه (A2) بدست می آید. سپس از آنجا که:$$E_{\mathbb{Q}}\{f(X_t)\}=\int f(X_t)\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}d\mathbb{P}=E_{\mathbb{P}}\{f(X_t)\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}\}$$نتیجه (A1) بدست می آید.