قضیه کوشی

هرگاه f و g دو تابع باشند که در بازه بسته[a,b] پیوسته و در (a,b) مشتق‌پذیر باشند و $g^{\prime }(x)$ به ازای هر x عضو (a,b) ناصفر باشد، آنگاه نقطه‌ای چون (c∈(a,b هست که: الگو:وسط‌چین

$\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

اثبات

ابتدا تابع h را به شکل زیر تعریف می‌کنیم که تمام خواص تابع f را نیز دارد : الگو:چرh(x)=f(x)-k g(x)الگو:چر

حال اگر k را برابر $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$ فرض کنیم خواهیم داشت : الگو:وسط‌چین $h(a)=\frac{f(a)g(b)-f(a)g(a)-f(b)g(a)+f(a)g(a)}{g(b)-g(a)}$

$h(b)=\frac{f(b)g(b)-f(b)g(a)-f(b)g(b)+f(a)g(b)}{g(b)-g(a)}$ الگو:پایان وسط‌چین پس $h(a)=h(b)$ که بر طبق قضیه رول وجود دارد c متعلق به بازه (a,b) که $h^{\prime }(c)=0$؛ پس : الگو:وسط‌چین $f^{\prime }(c)=k{g}^{\prime }(c)\Rightarrow \frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=k$ الگو:پایان وسط‌چین که با قرار دادن مقدار k داریم : الگو:وسط‌چین

$\frac{f^{\prime }(c)}{g^{\prime }(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

منابع

• حساب دیفرانسیل و انتگرال ( جلد اول )، دکتر مسعود نیکوکار و بهمن عرب زاده، انتشارات آزاده ، 1384 ، الگو:شابک