قضیه پیک

الگو:Color, الگو:Color, الگو:ریاضی

The triangle with vertices at the lower left, lower right, and upper right points has الگو:ریاضی and الگو:ریاضی, giving by Pick's theorem الگو:ریاضی; this is confirmed by the triangle area formula الگو:Nowrap = الگو:Nowrap = ۱۸.

چند ضلعی ای را بر روی نقاط صفحهٔ نقطه گذاری شده با فاصلهٔ مساوی می‌سازیم.یا به عبارت دیگر مختصات رئوس چند ضلعی عددی صحیح است.قضیهٔ پیک فرمولی است که با آن می‌توان مساحت چنین چند ضلعی ای را محاسبه کرد. این فرمول کار محاسبه را راحت می‌کند زیرا مساحت را بر اساس تعداد نقاط داخلی و تقاط روی محیط چند ضلعی می‌دهد.

برای محاسبهٔ مساحت یک چند ضلعی به مساحت الگو:Mvar و نقاط داخلی الگو:Mvar و نقاط مرزی الگو:Mvar (نقاط روی اضلاع یا رئوس) فرمول زیر را داریم:

$A=i+\frac{b}{2}-1.$

در مثال نشان داده شده هفت نقطه داخل چند ضلعی و هشت نقطه روی محیط آن قرار دارند (الگو:ریاضی و الگو:ریاضی)پس:

الگو:Mvar = 7 + الگو:Sfrac − ۱ = ۷ + ۴ − ۱ = ۱۰

پس مساحت ۱۰ واحد مربع است.

قضیهٔ پیک تنها برای چندضلعی‌های ساده صادق است و برای چند ضلعی‌هایی که خود را قطع می‌کنند یا دارای حفره می‌باشند باید آن‌ها را به چند ضلعی‌های ساده تبدیل کرد و بعد مساحت را حساب کرد زیرا این فرمول مستقیماً روی چند ضلعی‌های غیر ساده درست عمل نمی‌کند.

این فرمول اولین بار توسط گئورگ الکساندر پیک بیان شد. او در سال ۱۸۹۹ این فرمول را بیان کرد. با کمک چهار وجهی ریو نشان داده‌اند که قضیهٔ پیک هیچ مشابهی در فضای سه بعدی ندارد. (فرمولی که با دانستن نقاط داخلی چند وجهی و نقاط روی سطح آن بتوان حجم آن چند وجهی را حساب کرد)

با این وجود Ehrhart polynomials تعمیمی از قضیهٔ پیک است که به فضاهایی با بعد بیشتر مربوط می‌شود.

اثبات

قضیه را با استفاده از استقرا اثبات می‌کنیم. چند ضلعی الگو:Mvar و مثلث الگو:Mvar را در نظر بگیرید به طوریکه الگو:Mvar و الگو:Mvarیک ضلع مشترک داشته باشند؛ و قضیه برای هر دو به تنهایی درست باشد.

می خولهیم نشان دهیم قضیه برای چندضلعی (که با اضافه کردن الگو:Mvar به الگو:Mvar به وجود می‌آید) نیز درست است.

از آنجایی که الگو:Mvar و الگو:Mvar یک ضلع مشترک دارند پس نقاط داخلی برابر می‌شود با نقاط داخلی الگو:Mvar و الگو:Mvar به اضافهٔ نقاط روی ضلع مشترک منهای دو (که آن دو نقطه نقاط ایتدا و انتهای ضلع مشترک هستند که روی مرز الگو:Mvar قرار می‌گیرند) پس:

$i_{PT}=i_P+i_T+(c-2)$

و همین‌طور:

$b_{PT}=b_P+b_T-2(c-2)-2.$

با ساده کردن عبارات بالا به نتایج زیر می‌رسیم:

$i_P+i_T=i_{PT}-(c-2)$

و

$b_P+b_T=b_{PT}+2(c-2)+2.$

از آنجایی که ما فرض کرده بودیم قضیه برای مثلث الگو:Mvar و چند ضلعی الگو:Mvar درست است پس:

$\begin{array}{cc}{A}_{PT}& =A_P+A_T\\ & =(i_P+\frac{b_P}{2}-1)+(i_T+\frac{b_T}{2}-1)\\ & =i_P+i_T+\frac{b_P+b_T}{2}-2\\ & =i_{PT}-(c-2)+\frac{b_{PT}+2(c-2)+2}{2}-2\\ & =i_{PT}+\frac{b_{PT}}{2}-1.\end{array}$

و نتیجه می‌گیریم قضیه برای الگو:Mvar نیز برقرار است پس به حکم کلی زیر می‌رسیم:

اگر قضیه برای چندضلعی ساخته شده با الگو:Mvar مثلث درست باشد برای چند ضلعی ساخته شده با الگو:Math مثلث نیز درست است؛ و واضح است که هر چند ضلعی را می‌توان به چند مثلث افراز کرد. برای اتمام اثبات استقرایی باید نشان دهیم که قضیه روی هر مثلثی نیز صادق است. این قسمت از اثبات را نیز با مراحل زیر انجام می‌دهیم.

• اثبات می‌کنیم فرمول برای مربع واحد درست است. (طول و عرض راس‌های مربع باید عدد صحیح باشد)
• سپس اثبات می‌کنیم که فرمول برای هر مستطیل با اضلاع موازی با محورها نیز درست است.
• حالا با نصف کردن مستطیل از قطرش و تبدیل آن به مثلث قائم الزاویه اثبات می‌کنیم که قضیه برای مثلث‌های قائم الزاویه نیز درست است.
• حالا با توجه به این که هر مثلث با شرایط قضیه را می‌توان به چند مثلث قائم الزاویه تبدیل کرد ثابت می‌کنیم قضیه برای هر مثلثی صادق است.

و بدین ترتیب قضیه اثبات می‌شود.

جستارهای وابسته

• Integer points in convex polyhedra
• Steinhaus longimeter
• Farey sequence

پیوند به بیرون

• Pick's Theorem (Java) at cut-the-knot
• Pick's Theorem
• Pick's Theorem proof by Tom Davis
• Pick's Theorem by Ed Pegg, Jr. , the Wolfram Demonstrations Project.
• Weisstein, Eric W. "Pick's Theorem". MathWorld.