قضیه مقدار کرانی

یک تابع پیوسته $f(x)$ در بازهٔ بستهٔ $[a,b]$ که در آن حداکثر مطلق (قرمز) و حداقل مطلق (آبی) نشان داده شده‌است.

در حسابان، قضیهٔ مقدار کرانی یا قضیهٔ مقدار فرین بیان می‌کند که اگر یک تابع با مقادیر حقیقی $f$ در بازهٔ بسته و ناتهی $[a,b]$، پیوسته باشد، این تابع، یعنی $f$، اقلاً یکبار به مقادیر حداکثر و حداقل دست می‌یابد؛ یعنی در بازهٔ $[a,b]$، اعدادی مانند $c$ و $d$ هستند به طوری که:

$f(c)\ge f(x)\ge f(d)\mathrm{\forall }x\in [a,b]$

قضیه مقدار کرانی از قضیهٔ کرانه‌داری گویاتر است. این قضیه صرفاً بیان می‌کند که یک تابع پیوسته $f$ در بازهٔ بسته $[a,b]$ تابعی کران‌دار است؛ یعنی اعداد حقیقی همچون $m$ و $M$ وجود دارد به طوری که:

$m\le f(x)\le M\mathrm{\forall }x\in [a,b]$ .

چنین قضیه‌ای نمی‌گوید $M$ و $m$ لزوماً مقادیر حداکثر و حداقل $f$ در فاصله $[a,b],$ هستند؛ که این همان چیزی است که قضیه مقدار کرانی تصریح می‌کند، باید باشد.

توابعی که قضیه در مورد آن‌ها صدق نمی‌کند

مثال‌های زیر نشان می‌دهند که چرا دامنه تابع باید بسته و محدود باشد تا قضیه اعمال شود. هر کدام از آن‌ها در بازهٔ مشخص شده به حداکثر نمی‌رسند.

1. $f(x)=x$ تعریف شده‌است $[0,\mathrm{\infty })$ از بالا کران‌دار نمی‌شود.
2. $f(x)=\frac{x}{1+x}$ تعریف شده‌است $[0,\mathrm{\infty })$ کران‌دار است اما به حداقل حد بالایی خود $1$ نمی‌رسد.
3. $f(x)=\frac{1}{x}$ تعریف شده‌است $(0,1]$ از بالا کران‌دار نمی‌شود.
4. $f(x)=1-x$ تعریف شده‌است $(0,1]$ کران‌دار است اما هرگز به حداقل حد بالایی خود $1$ نمی‌رسد.

تعیین $f(0)=0$ در دو مثال آخر نشان می‌دهد که هر دو قضیه نیاز به پیوستگی در $[a,b]$ دارند.

منابع

• الگو:یادکرد ویکی

جستارهای خارجی

• اثباتی برای قضیهٔ مقادیر کرانی در زمان قطع
• قضیه مقدار کرانی توسط ژاکلین واندزورا با مشارکت‌های اضافی توسط استفان واندزورا، نمایش‌های پروژه ولفرام.
• الگو:MathWorld
• اثبات سیستم Mizar : http://mizar.org/version/current/html/weierstr.html#T15