قضیه مقدار میانگین برای انتگرال‌ها

بنابراین قضیه اگر تابع f بر بازهٔ [a,b] پیوسته باشد آنگاه حداقل یک مقدار مانند c متعلق به بازه بسته [a,b] وجود دارد که: $f(c)=\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

اثبات

با توجه به فرض قضیه، چون تابع f بر بازه [a,b] پیوسته است، مقدار مینیمم و ماکسیمم مطلق خود را (بر طبق قضیه اکسترمم) در این فاصله می‌گیرد، یعنی به ازای هر x در بازه [a,b]: $m\le f(x)\le M\Rightarrow \underset{a}{\overset{b}{\int }}mdx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}Mdx$ $m(b-a)\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le M(b-a)\Rightarrow m\le (1/(b-a))\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx\le M$ حال اگر تابع f در این فاصله صعودی (نزولی) باشد آنگاه $x_0$ و $x_1$ در بازه $[a\le x_0\le x_1\le b]$ وجود دارد که به ازای آنها مقادیر تابع به ترتیب مینیمم و ماکسیمم (ماکسیمم و مینیمم) می‌شود. یعنی: $(1/(b-a)\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx-f(x_0))(1/(b-a)\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx-f(x_1))<0$ که بر طبق قضیه بولتزانو وجود دارد حداقل یک مقدار مانند c در بازهٔ $[x_0,x_1]$ که: $f(c)=(1/(b-a))\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx$

منابع

• حساب دیفرانسیل و انتگرال (جلد دوم)، نوشته مسعود نیکوکار و بهمن عرب‌زاده، انتشارات آزاده، ۱۳۸۴.