قضیه اندیس عطیه-سینگر
الگو:Short description الگو:Infobox mathematical statement در هندسه دیفرانسیل، قضیه اندیس عطیه-سینگر الگو:انگلیسی، توسط مایکل عطیه و ایسادور سینگر اثبات شد.الگو:Sfn این قضیه بیان میدارد که برای یک عملگر دیفرانسیل بیضوی روی یک منیفلد فشرده، اندیس تحلیلی (مربوط به بعد فضای جوابها) برابر با اندیس توپولوژیکی (که برحسب دادههای توپولوژیکی تعریف میشود) است. این قضیه، بسیاری از قضایای دیگری چون قضیه چرن-گاوس-بونت و قضیه ریمان-رخ را به عنوان حالتهای خاص دربر گرفته و کاربردهایی در فیزیک نظری دارد.الگو:Sfn
تاریخچه
مسئله اندیس برای عملگرهای دیفرانسیلی بیضوی، توسط ایزرائیل گلفاند مطرح شد.الگو:Sfn او متوجه ناوردای هموتوپی این اندیس شده و در مورد فرمولی برای آن به کمک ناورداهای توپولوژیکی طرح سؤال نمود. برخی از مثالهای انگیزهبخش شامل قضیه ریمان-رخ و تعمیم آن یعنی قضیه هیرزبروخ-ریمان-رخ و قضیه علامت هیرزبروخ است. فردریش هیرزبروخ و آرمند بورل یکپارچگی Â-گونای (Â genus) یک منیفلد اسپینی را اثبات نموده و عطیه پیشنهاد کرد که این یکپارچگی را میتوان توضیح داد، به شرطی که اندیس عملگر دیراک باشد (که توسط عطیه و سینگر در ۱۹۶۱ میلادی مجدداً کشف شد).
قضیه عطیه-سینگر در ۱۹۶۳ میلادی اعلام شد.الگو:Sfn طرح کلی اثبات آن در این اعلامیه ترسیم شده بود، در حالی که هیچگاه توسط آنها منتشر نشد، با این حال در کتاب پالیس ظاهر شدهاست.الگو:Sfn همچنین طرح کلی این اثبات در سمینار کارتان-شوارتز به سالهای ۱۹۶۳–۱۹۶۴ میلادی نیز پدیدار شدهاست.الگو:Sfn این سمینار در پاریس و همزمان با سمیناری به رهبری ریچارد پالیس در دانشگاه پرینستون برگزار شد. آخرین سخنرانی در پاریس توسط عطیه و در مورد منیفلدهای مرزدار صورت پذیرفت. اولین اثبات منتشر نشدهشان،الگو:Sfn نظریه کوبوردیسم از اولین اثبات را با K-نظریه (نظریه کا) جایگزین کرده و از آن جهت ارائه تعمیمهای مختلفی در سلسله مقالات دیگر استفاده نمودند.الگو:Sfnmp
- ۱۹۶۵: سرگئی نوویکوف نتایجش در مورد ناوردایی توپولوژیکی ردههای پونتریجینِ گویا روی منیفلدهای هموار را منتشر نمود.الگو:Sfn
- نتایج روبیون کیربی و لارن سی. سیبنمن،الگو:Sfn در ترکیب با مقاله رنه تام،الگو:Sfn وجود ردههای پونتریجین گویا روی منیفلدهای توپولوژیکی را اثبات کردند.
- ۱۹۶۹: مایکل عطیه در این سال، عملگرهای بیضوی مجرد را بر روی فضاهای متریک دلخواه تعریف میکند. عملگرهای بیضوی مجرد در نظریه کاسپاروف و هندسه دیفرانسیل ناجابجایی کن (Connes)، نقش مهمی پیدا کردند.الگو:Sfn
- ۱۹۷۱: ایسادور سیگر برنامه جامعی برای توسعههای آینده از نظریه اندیس پیشنهاد میدهد.الگو:Sfn
- ۱۹۷۲: گنادی جی. کاسپاروف، اثر خود را در ارتباط با تحقق K-همولوژی (همولوژی کا) توسط عملگرهای بیضوی مجرد را منتشر میکند.الگو:Sfn
- ۱۹۷۳: عطیه، رائول بات و ویجی پاتودی، اثبات جدیدی برای قضیه اندیس ارائه نمودندالگو:Sfn که در آن از معادله گرمای توصیف شده در مقاله ای توسط ملروز،الگو:Sfn استفاده شدهاست.
- ۱۹۷۷: دنیس سالیوان، قضیه خود در ارتباط با وجود و یکتایی ساختارهای لیپشیتز و شبه-همدیس روی منیفلدهای توپولوژیکی از بعدی غیر از ۴ را بنا نهاد.الگو:Sfn
- ۱۹۸۳: ازرا گتزرالگو:Sfn از ایدههای ادوارد ویتنالگو:Sfn و لوئیس آلوارز-گاوم ایده گرفت و اثبات کوتاهی از قضیه اندیس موضعی برای عملگرهایی که موضعاً عملگرهای دیراک اند ارائه نمود؛ این اثبات، بسیاری از حالتهای مفید را پوشش میداد.
- ۱۹۸۳: نیکولا تلمن اثبات کرد که اندیسهای تحلیلی از عملگرهای علامتی که مقادیرشان در کلافهای برداری قرار دارند، ناورداهای توپولوژیکی میباشند.الگو:Sfn
- ۱۹۸۴: تلمن قضیه اندیس را بر روی منیفلدهای توپولوژیکی مستقر میسازد.الگو:Sfn
- ۱۹۸۶: الن کن، مقاله بنیادینش را در ارتباط با هندسه ناجابجایی منتشر میکند.الگو:Sfn
- ۱۹۸۹: سایمون کی. دونالدسون و سولیوان، نظریه یانگ-میلز در مورد منیفلدهای شبه-همدیس از بعد ۴ را مطالعه میکند. آنها بر روی فرمهای دیفرانسیلی از درجه ۲، عملگر علامت تعریف نمودند.الگو:Sfn
- ۱۹۹۰: کن (Connes) و هنری موسکوویچ، فرمول اندیس موضعی را در بستر هندسه ناجابهجایی اثبات نمودند.الگو:Sfn
- ۱۹۹۴: کن (Connes)، سالیوان و تلمن، قضیه اندیس را برای عملگرهای علامت روی منیفلدهای شبه-همدیس اثبات نمودند.الگو:Sfn
ارجاعات
منابع
مقالات عطیه در جلدهای ۳ و ۴ از مجموعه آثارش گردآوری شدهاست،الگو:Harvs الگو:چپچین الگو:Refbegin
- الگو:Citation
- الگو:Citation
- الگو:Citation This reformulates the result as a sort of Lefschetz fixed point theorem, using equivariant K-theory.
- الگو:Citation An announcement of the index theorem.
- الگو:Citation This gives a proof using K-theory instead of cohomology.
- الگو:Citation This paper shows how to convert from the K-theory version to a version using cohomology.
- الگو:Citation This paper studies families of elliptic operators, where the index is now an element of the K-theory of the space parametrizing the family.
- الگو:Citation. This studies families of real (rather than complex) elliptic operators, when one can sometimes squeeze out a little extra information.
- الگو:Citation. This states a theorem calculating the Lefschetz number of an endomorphism of an elliptic complex.
- الگو:Citation and الگو:Citation These give the proofs and some applications of the results announced in the previous paper.
- الگو:Citation. الگو:Citation
- الگو:Citation، الگو:Citation
- الگو:Citation
- الگو:Citation
- الگو:Citation
- الگو:Citation This gives an elementary proof of the index theorem for the Dirac operator, using the heat equation and supersymmetry.
- الگو:Citation Bismut proves the theorem for elliptic complexes using probabilistic methods, rather than heat equation methods.
- الگو:Citation
- الگو:Citation
- الگو:Citation
- الگو:Citation
- الگو:Citation
- الگو:Citation
- الگو:Citation reprinted in volume 1 of his collected works, p. 65–75, الگو:ISBN. On page 120 Gel'fand suggests that the index of an elliptic operator should be expressible in terms of topological data.
- الگو:Citation
- الگو:Citation
- الگو:Citation Free online textbook that proves the Atiyah–Singer theorem with a heat equation approach
- الگو:Cite arxiv
- الگو:Citation
- الگو:Citation
- الگو:Citation
- الگو:Citation
- الگو:Citation
- الگو:Citation Free online textbook.
- الگو:Citation
- الگو:Citation This describes the original proof of the theorem (Atiyah and Singer never published their original proof themselves, but only improved versions of it.)
- الگو:Citation
- الگو:Citation
- الگو:Citation
- الگو:Citation
- الگو:Citation
- الگو:Citation
- الگو:Citation
- الگو:Citation
- الگو:Citation
- الگو:Citation
- الگو:Citation - Personal accounts on Atiyah, Bott, Hirzebruch and Singer.