قضیه استوکس

الگو:حساب دیفرانسیل و انتگرال در هندسه دیفرانسیل، قضیه استوکس گزاره‌ای است درباره انتگرال فرم‌های دیفرانسیلی که حالت عمومی چند قضیه دیگر می‌باشد. این قضیه به نام جرج گابریل استوکس نام‌گذاری شده.

تعریف

هرگاه $\psi$ یک زنجیر k بعدی از رده ${\phi }^{″}$ در مجموعه $V\subset R^m$ و $\omega$ یک فرم (k-۱) بعدی از رده ${\phi }^{\prime }$ در $V$ باشد، آنگاه :

$\underset{\psi }{\int }d\omega ={\oint }_{\partial \psi }\omega$

حالت‌های خاص

• حالت k = m = ۱ قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال با فرض اضافی مشتقپذیری است.
• حالت k = m = ۲ قضیه گرین است
• حالت k = m = ۳ قضیه دیورژانس گاوس است
• حالت k = ۲، m = ۳ قضیه‌ای است که توسط جرج گابریل استوکس کشف شد.

رابطه تاو (چرخش یا کِرل) و قضیه استوکس

حالت خاصی از قضیه استوکس به قضیه کاربردی زیر تبدیل می‌شود که در بسیاری از کتاب‌های درسی از این قضیه به عنوان قضیه استوکس نام برده می شود:الگو:سخ

${\oint }_C𝐅\cdot d𝐫=\underset{S}{\int }\mathrm{\nabla }\times 𝐅\cdot \widehat{𝐧}da$

الگو:سخ در اینجا $𝐅$ یک میدان برداری دلخواه در فضااست، $S$ رویه ای جهت پذیر در فضا است به طوری که خم $C$ مرز آن رویه است. بردار $d𝐫$؛ بردار المان طول در راستای خم $C$(مرز رویه $S$) است و بردار $\widehat{𝐧}$ بردار یکه(به طول یک) و عمود بر رویه $S$ است.

انتخاب جهت بردار های $\widehat{𝐧}$ و $d𝐫$

که برای هر یک از بردار های $\widehat{𝐧}$ و $d𝐫$ در انتگرال های فوق دو جهت می توان در نظر گرفت و در صورت اشتباه در انتخاب جهت ها ممکن است تساوی فوق از لحاظ علامت اشتباه به دست آید.

برای انتخاب این جهت می توان به طریق زیر عمل کرد: اگر فرض کنید که شخصی روی خم $C$ در جهت انتگرالگیری (یعنی همان جهت $d𝐫$) راه برود و طوری بایستد که راستای قامتش در جهت $\widehat{𝐧}$ آنگاه دست چپ وی به سمت داخل رویه خواهد بود.

منابع

• الگو:یادکرد
• الگو:یادکرد