قانون واریانس کلی

از testwiki
پرش به ناوبری پرش به جستجو

در نظریهٔ احتمال قانون واریانس کلی الگو:به انگلیسی بیان می کند که اگر X و Y متغیرهای تصادفی در فضای احتمال یکسان باشند و واریانس Y دارای مقدار محدود باشد در اینصورت داریم

Var⁡(Y)=E⁡(Var⁡(Y∣X))+Var⁡(E⁡(Y∣X)).

اثبات

از تعریف واریانس داریم

Var⁡[Y]=E⁡[Y2]−E⁡[Y]2

که بر اساس قانون امید ریاضی کل برابر است با

=E⁡[E⁡[Y2|X]]−E⁡[E⁡[Y|X]]2

می‌توان جمله اول از عبارت فوق را بر اساس واریانس آن بازنویسی کرد:

=E⁡[Var⁡[Y|X]+E⁡[Y|X]2]−E⁡[E⁡[Y|X]]2

و جمع عبارات داخل امیدریاضی را تبدیل به جمع دو امید ریاضی کرد:

=E⁡[Var⁡[Y|X]]+(E⁡[E⁡[Y|X]2]−E⁡[E⁡[Y|X]]2)

و در نهایت داریم:

=E⁡[Var⁡[Y|X]]+Var⁡[E⁡[Y|X]]

تعمیم درجه های بالاتر

تعمیم قضیه فوق به گشتاور مرکزی درجه سه به صورت زیر است:

μ3(Y)=E⁡(μ3(Y∣X))+μ3(E⁡(Y∣X))+3cov⁡(E⁡(Y∣X),var⁡(Y∣X)).

منابع

الگو:پانویس

برگرفته از «https://fa.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=قانون_واریانس_کلی&oldid=2290»