قانون لگاریتم‌های تکراری

قانون لگاریتم‌های تکراری، اولین بار توسط A. Y. Khinchin (به فارسی: خین‎چین) در سال ۱۹۲۴ و بعدها، در سال ۱۹۲۹ به وسیله A. N. Kolmogorov (به فارسی: کولموگوروف) به صورت کامل‎تری بیان شد. همچنین ریشه این قانون به یک مسئله خاص در نظریه اعداد بازمی‌گردد.

مقدمه

از قانون Hewitt-Savage 0-1(به فارسی: هویت سوج) می‌دانیم اگر $X_1,X_2,...,X_n$ متغیرهای تصادفی حقیقی با توزیع متقارن حول $0$ باشند و $S_n=\sum _{j=1}^n{X}_j$ باشد، آنگاه داریم:$$-\mathrm{\infty }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{S}_n<\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{S}_n=\mathrm{\infty }$$که منظور از $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{S}_n$ و $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{S}_n$ به ترتیب حد سوپریمم و حد اینفیمم است.

حال اگر بخواهیم کمی دقیق‎تر عبارت بالا را توسعه دهیم، باید از قانون Hartman-Wintner (به فارسی: هارتمن وینتنر) استفاده کنیم که بیان می‌کند:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}\frac{S_n}{-\varphi (n)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{S_n}{\varphi (n)}=1almostsurely$$ و برای هر $S_n$ای که شرایط زیر را داشته باشد:

$$\{\begin{array}{c}E[X_n]=0\\ \\ Var[X_n]={\sigma }^2=finite\end{array}$$

داریم:

نقاط خط چین در شکل مربوط به عبارت$\sqrt{2\log \log (n)/n}$است و خط پر رنگ مربوط به $S_n/n$است؛ و همچنین $S_n$مربوط به سری $S_n=2\sum _{k=1}^n{x}_k-n$است که در آن $X_k$، $k$امین رقم اعشاری عدد $\pi$در سیستم دودویی است.

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{S_n}{\sqrt{2{\sigma }^{2}n\log \log (n)}}=1almostsurely$$برای درک بهتر مطالب بالا به شکل روبرو توجه کنید. سری $S_n=2\sum _{k=1}^n{x}_k-n$ را در نظر بگیرید که در آن $X_k$، $k$ امین رقم اعشاری عدد $\pi$در سیستم دودویی است. دو نمودار $\sqrt{2\log \log (n)/n}$(نقطه چین) و $S_n/n$ (خط پررنگ) رسم شده‌است و به وضوح می‌توان دید که وقتی $n⟶\mathrm{\infty }$ این دو نمودار به هم همگرا می‌شوند.

مثال

فرض کنید با دوستتان سنگ، کاغذ، قیچی بازی می‌کنید به طوری که شما به احتمال ۱/۳ برنده می‌شوید، به احتمال ۱/۳ بازنده‌اید و به احتمال ۱/۳ کسی برنده نمی‌شود. اگر برنده شوید ۱ ریال دریافت می‌کنید، اگر بازنده شوید ۱ ریال به دوستتان می‌دهید و اگر کسی برنده نشود هیچ اتفاقی نمی‌افتد.

متغیر تصادفی $X_n$ را مقدار پولی در نظر بگیرید که در مرحله $n$ام بازی باید بپردازید به این ترتیب برای متغیر تصادفی مقادیر زیر را داریم:

$$X_n=\{-1,0,1\}$$که احتمال رویدادن هر کدام ۱/۳ است.

حال اگر $S_n$ را به صورت زیر تعریف کنیم:

$$S_n=X_1+X_2+...+X_n=\sum _{j=1}^n{X}_j$$مقدار $S_n$ بیانگر مقدار کل پرداختی ما تا مرحله $n$ام خواهد بود. ما علاقه‌مند به رفتار $S_n$در طولانی مدت هستیم.

برای ابن مثال خاص که صحبت شد می‌توان به سادگی نشان داد که:

$$\{\begin{array}{c}E[X_n]=\sum X_{n}P(X_n)=0\\ \\ \\ Var[X_n]=E[X_n^2]-(E[X_n]{)}^2={\sigma }^2=\frac{2}{3}\end{array}$$

و با جاگذاری مقادیر بالا داریم:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{S_n}{\sqrt{\frac{4}{3}n\log \log (n)}}=1almostsurely$$

جستارهای وابسته

• قانون اعداد بزرگ
• قضیه حد مرکزی