فرمول عدد رده‌ای

در نظریه اعداد، فرمول عدد رده‌ای الگو:انگلیسی، بین ناورداهای مهمی از یک میدان عددی و یک مقدار خاص از تابع زتای ددکیند آن میدان عددی، ارتباط برقرار می‌سازد.

حکم کلی

ما با این داده‌ها آغاز می‌کنیم:

• $K$ یک میدان عددی است.
• $[K:\mathbb{Q}]=n=r_1+2r_2$ که در آن $r_1$ تعداد نشاندن‌های حقیقی $K$، و $2r_2$ تعداد نشاندن‌های مختلط $K$ است.
• ${\zeta }_K(s)$ تابع زتای ددکیند $K$ است.
• $h_K$ رده عددی است، یعنی تعداد اعضای گروه رده ایده‌آل $K$.
• $Re{g}_k$ تنظیم‌کننده $K$.
• $w_K$ تعداد ریشه‌های واحدی است که در $K$ وجود دارند.
• $D_K$ مشخصه توسیع $K/\mathbb{Q}$ است.

آنگاه:

قضیه (فرمول عدد رده‌ای). ${\zeta }_K(s)$ برای $Re(s)>1$ به‌طور مطلق همگراست و به تابع مرومورفی توسعه می‌یابد که برای تمام sهای صفحه مختلط تعریف شده به جز قطب ساده ای در $s=1$ که دارای مانده زیر است:

$\underset{s\to 1}{\lim }(s-1){\zeta }_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot (2\pi {)}^{r_2}\cdot {\mathrm{Reg}}_K\cdot h_K}{w_K\cdot \sqrt{|D_K|}}$

این کلی‌ترین «فرمول عدد رده‌ای» است. در موارد خاص، به عنوان مثال زمانی که $K$ توسیعی دوری از $\mathbb{Q}$ باشد، فرمول‌های عدد رده‌ای ظریف تر و خاص تری وجود دارند.

منابع

• الگو:Cite book