فرایند ورود مارکوف

در نظریه صف، برای مدل کردن ورود مشتریان به صف از فرایند ورود مارکوف استفاده می‌شود.

فرایند پواسون، فرایند ورود مارکوف و فرایند ورود دسته‌ای مارکوف برخی از رایج ترین‌ها محسوب می‌شوند.

سابقه

فرایندهای ورودی مارکوف دارای دو فرایند است . فرایند مارکوف در زمان پیوسته $j(t)$، فرایندهای مارکوف که توسط یک مولد یا ماتریس تغییرات $Q$ تولید می‌شود. فرایند دیگر یک فرایند شمارنده است $N(t)$، که دارای فضای حالت ${\mathbb{N}}_0:=\mathbb{N}\cup \{0\}$ (که در آن $\mathbb{N}$ مجموعه‌ای از تمام اعداد طبیعی)

که هر زمان $N(t)$ افزایش می‌بابد و یک‌گذار $j(t)$  وجود داشته و علامتگذاری شده‌است .

فرایند پواسون

فرایند ورود پواسون یا فرایند پواسون تعداد ورودی‌ها را می‌شمارد به‌طوری‌که هریک از آن‌ها دارای توزیع نمایی بین ورود می‌باشد . در حالت کلی این مورد با ماتریس تغییرات نشان داده است ،

$Q=\left[\begin{array}{ccccc}-{\lambda }_0& {\lambda }_0& 0& 0& \dots \\ 0& -{\lambda }_1& {\lambda }_1& 0& \dots \\ 0& 0& -{\lambda }_2& {\lambda }_2& \dots \\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \ddots \end{array}\right].$

در حالت همگن ساده‌تر هم می‌شود.

$Q=\left[\begin{array}{ccccc}-\lambda & \lambda & 0& 0& \dots \\ 0& -\lambda & \lambda & 0& \dots \\ 0& 0& -\lambda & \lambda & \dots \\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \ddots \end{array}\right].$

در اینجا هر حالت‌گذار مشخص شده‌است .

فرایندهای ورود مارکوف

فرایند ورود مارکوف (MAP) یک تعمیم از فرایند پواسون با توزیع غیر نمایی موقت بین ورودی‌ها است. در وضعیت همگن، ماتریس تغییرات به صورت زیر است ،

$Q=\left[\begin{array}{ccccc}{D}_0& D_1& 0& 0& \dots \\ 0& D_0& D_1& 0& \dots \\ 0& 0& D_0& D_1& \dots \\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \ddots \end{array}\right].$

ورود در زمان‌گذار رخ می هد و باعث افزایش سطح (گذار مشخص شده ) می‌شود به عنوان مثال در تغییر حالت در زیر ماتریس $D_1$ . در زیر ماتریس‌های $D_0$ و $D_1$ با عناصر ${\lambda }_{i,j}$ و تغییرات فرایند پواسون ،

$0\le [D_1{]}_{i,j}<\mathrm{\infty }$

$0\le [D_0{]}_{i,j}<\mathrm{\infty }i\ne j$

$[D_0{]}_{i,i}<0$

و

$(D_0+D_1)1=0$

چندین مورد خاص در فرایند ورود مارکوف وجود دارد.

فرایندهای پوآسون با مدوله مارکوف

فرایندهای پوآسون با مدوله مارکوف یا MMPP که $m$ به وسیلهٔ فرایندهای پواسون تغییر می‌کند . در صورتی که هر یک از فرایندهای پواسون $m$ دارای تغییرات ${\lambda }_i$ و فرایند اساسی تولید شده به وسیلهٔ یک ماتریس مولد $m\times m$ باشد.، سپس در MAP نمایش داده می‌شود،

$D_1=\mathrm{diag}\{{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_m\}$

ماتریس قطری در تغییرات پواسون است و

$D_0=R-D_1$

فرایندهای تجدید فاز-نوع

فرایندهای تجدید فاز-نوع یک فرایند ورود مارکوف با توزیع فاز-نوع بین دو زمان ورود است . به‌طور مثال اگر یک فرایند ورودی بین دو ورود که زمان توزیع PH $(\mathit{\alpha },S)$ با یک بردار خروجی نشان داده شد ${𝑺}^0=-S1$، فرایند ورودی یک ماتریس مولد دارد ،

$Q=\left[\begin{array}{ccccc}S& {𝑺}^0\mathit{\alpha }& 0& 0& \dots \\ 0& S& {𝑺}^0\mathit{\alpha }& 0& \dots \\ 0& 0& S& {𝑺}^0\mathit{\alpha }& \dots \\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \ddots \end{array}\right]$

فرایند ورود دسته‌ای مارکوف

فرایند ورود دسته‌ای مارکوف (BMAP) یک فرایند ورود مارکوف دارای ورودی‌ها بزرگتر از یک است . در وضعیت همگن، ماتریس تغییرات به صورت زیر است ،

$Q=\left[\begin{array}{ccccc}{D}_0& D_1& D_2& D_3& \dots \\ 0& D_0& D_1& D_2& \dots \\ 0& 0& D_0& D_1& \dots \\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & \ddots \end{array}\right].$

یک ورودی با اندازه $k$ هر زمان رخ می‌دهد که‌گذار اتفاق می افتد . زیر ماتریس $D_k$ دارای عناصر ${\lambda }_{i,j}$ است و تغییرات فرایند پواسون :

$0\le [D_k{]}_{i,j}<\mathrm{\infty }1\le k$

$0\le [D_0{]}_{i,j}<\mathrm{\infty }i\ne j$

$[D_0{]}_{i,i}<0$

و

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{D}_{k}1=0$

منابع

• Søren Asmussen (2000). Matrix-analytic Models and their Analysis، Scandinavian Journal of Statistics 27(2)، 193–226.
• David M. Lucantoni (1993). The BMAP/G/1 Queue: A Tutorial، Lecture Notes in Computer Science: Performance Evaluation of Computer and Communication Systems (Editors: Lorenzo Donatiello and Randolph Nelson)، volume 729.
• Srinivas R. Chakravarthy (2001). The batch Markovian arrival process: A review and future work. In Advances in Probability and Stochastic Processes، Ed. A. Krishnamoorthy، N.Raju and V. Ramaswami، Notable Publications، Inc.، New Jersey، USA، 21-49.
• Srinivas R. Chakravarthy (2010). Markovian Arrival Processes. Wiley Encyclopedia of Operations Research and Management Science. Published Online: 15 JUN 2010.
• Marcel F. Neuts (1992). Models based on the Markovian arrival process. IEICE Transactions on Communications، E75B، 1255-1265.