علامت Q پوکهمر

در ریاضیات و در شاخه ترکیبیات، علامت q_پوکهَمِر، که به آن q_فاکتوریل جابجا شده نیز می‌گویند، اینگونه تعریف می‌شود: الگو:راست‌چین $(a; q)_{n} = \prod_{k = 0}^{n - 1} (1 - a q^{k}) = (1 - a) (1 - a q) (1 - a q^{2}) \dots (1 - a q^{n - 1})$ الگو:راست‌چین و الگو:راست‌چین $(a; q)_{0} = 1$ الگو:راست‌چین علامت q_پوکهمر، یک بلوک اصلی در ساخت q_آنالوگ هاست. برای مثال در نظریه سری‌های ابرهندسی، نقش اصلی را در نظریه تعمیم یافته آن دارد. بر خلاف علامت پوکهمر ساده، علامت q_پوکهمر قابل تعمیم است به یک ضرب نامتناهی: الگو:راست‌چین $(a; q)_{\infty} = \prod_{k = 0}^{\infty} (1 - a q^{k}) .$ الگو:راست‌چین این یک تابع تحلیلی از q در فضای داخلی یک دیسک واحد (در صفحه مختلط) است و می‌تواند به عنوان یک سری توانی ساده در نظر گرفته شود. حالت خاص زیر: الگو:راست‌چین $ϕ (q) = (q; q)_{\infty} = \prod_{k = 1}^{\infty} (1 - q^{k})$ الگو:راست‌چین به عنوان تابع اویلر شناخته شده و در شاخه‌های نظریه اعداد و ترکیبیات و همچنین در نظریهٔ فرم‌های مدولار کاربرد دارد.

قضیه‌ها

حاصل ضرب متناهی می‌تواند به صورت حاصل ضرب نامتناهی بیان شود: الگو:راست‌چین $(a; q)_{n} = \frac{(a; q)_{\infty}}{(a q^{n}; q)_{\infty}},$ الگو:راست‌چین که تعریف را به اعداد منفی n گسترش می دهد،بنابراین برای اعداد نامنفی n داریم: الگو:راست‌چین $(a; q)_{- n} = \frac{1}{(a q^{- n}; q)_{n}} = \prod_{k = 1}^{n} \frac{1}{(1 - a / q^{k})}$ الگو:راست‌چین و الگو:راست‌چین $(a; q)_{- n} = \frac{(- q / a)^{n} q^{n (n - 1) / 2}}{(q / a; q)_{n}} .$ الگو:راست‌چین از سوی دیگر داریم: الگو:راست‌چین $\prod_{k = n}^{\infty} (1 - a q^{k}) = (a q^{n}; q)_{\infty} = \frac{(a; q)_{\infty}}{(a; q)_{n}},$ الگو:راست‌چین که برای تابع مولد توابع افرازی مفید است.علامت q_پوکهمر،بخشی از q_سری هاست.به خصوص گسترش سری بی نهایته: الگو:راست‌چین $(x; q)_{\infty} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} q^{n (n - 1) / 2}}{(q; q)_{n}} x^{n}$ الگو:راست‌چین و الگو:راست‌چین $\frac{1}{(x; q)_{\infty}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{(q; q)_{n}}$ الگو:راست‌چین که هر دو حالت خاصی از q_بسط دو جمله ای: الگو:راست‌چین $\frac{(a x; q)_{\infty}}{(x; q)_{\infty}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a; q)_{n}}{(q; q)_{n}} x^{n} .$ الگو:راست‌چین فردریک کارپِلِویچ اتحاد زیر را به دست آورد: الگو:راست‌چین $\frac{(q; q)_{\infty}}{(z; q)_{\infty}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} q^{n (n + 1) / 2}}{(q; q)_{n} (1 - z q^{n})}, | z | < 1 .$ الگو:راست‌چین

منابع

الگو:پانویس

George Gasper and Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. الگو:ISBN.
Roelof Koekoek and Rene F. Swarttouw, The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues, section 0.2.
Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, الگو:ISBN, الگو:ISBN, الگو:ISBN
M.A. Olshanetsky and V.B.K. Rogov (1995), The Modified q-Bessel Functions and the q-Bessel-Macdonald Functions, arXiv:q-alg/9509013.
Ramanujan's Lost Notebook: Part I (Pt. 1) ,(2005) Bruce C. Berndt and George E. Andrews,الگو:ISBN,

الگو:ISBN Ramanujan's Lost Notebook: Part II (Pt. 2) ,(2009) Bruce C. Berndt and George E. Andrews,الگو:ISBN, الگو:ISBN G. H. Hardy and E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, 2008,الگو:ISBN,الگو:ISBN.

علامت Q پوکهمر

قضیه‌ها

منابع

منوی ناوبری

جستجو