ضرب هادامار (ماتریس‌ها)

ضرب هادامار (الگو:Lang-en) یا ضرب درایه‌ای ریاضیات، عمل دوتایی است که دو ماتریس با ابعاد یکسان را گرفته و ماتریس دیگری تولید می‌کند که هر درایهٔ

$ij$

آن حاصلضرب درایه‌های

$ij$

آن دو ماتریس است. این ضرب را نباید با حاصلضرب رایجتر ماتریسها اشتباه گرفت. این ضرب به افتخار ریاضیدان فرانسوی ژاک آدامار، یا ریاضیدان آلمانی ایسای شور نامگذاری شده‌است.

ضرب هادامار.

تعریف

برای دو ماتریس $A$ و $B$ که دارای ابعاد $m\times n$ هستند، ضرب هادامار آنها که با $A\circ B$ و یا $A\odot B$ نمایش داده می‌شود ماتریسی با همان ابعاد (یعنی $m\times n$) است که مقادیر آن به نحو پایین محاسبه می‌شوند: الگو:وسطچین

$(A\circ B{)}_{ij}=(A\odot B{)}_{ij}=(A{)}_{ij}(B{)}_{ij}.$

الگو:پایان وسط‌چین برای ماتریسهایی که ابعاد متفاوت دارند این ضرب تعریف نشده‌است.

مثال

برای دو ماتریس $A$ و $B$ پایین که ابعاد $3\times 3$ دارند ضرب هادامار آنها برابر است با: الگو:وسط‌چین $\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]\circ \left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\\ b_{31}& b_{32}& b_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}{b}_{11}& a_{12}{b}_{12}& a_{13}{b}_{13}\\ a_{21}{b}_{21}& a_{22}{b}_{22}& a_{23}{b}_{23}\\ a_{31}{b}_{31}& a_{32}{b}_{32}& a_{33}{b}_{33}\end{array}\right].$ الگو:پایان وسط‌چین

ویژگی‌ها

• اگر $A$ و $B$ ماتریسهایی با ابعاد یکسان باشند رتبه ضرب هادامار از ضرب رتبه‌های دو ماتریس بیشتر نیست:

الگو:وسط‌چین $\mathrm{rank}(𝐀\circ 𝐁)\le \mathrm{rank}(𝐀)\mathrm{rank}(𝐁)$ الگو:پایان وسط‌چین

• اگر $A$ و $B$ و $C$ ماتریسهایی با ابعاد یکسان باشند و $k$ یک عدد حقیقی باشید آنگاه:

الگو:وسط‌چین $\begin{array}{cc}& 𝐀\circ 𝐁=𝐁\circ 𝐀,\\ & 𝐀\circ (𝐁\circ 𝐂)=(𝐀\circ 𝐁)\circ 𝐂,\\ & 𝐀\circ (𝐁+𝐂)=𝐀\circ 𝐁+𝐀\circ 𝐂,\\ & \left(k𝐀\right)\circ 𝐁=𝐀\circ \left(k𝐁\right)=k(𝐀\circ 𝐁),\\ & 𝐀\circ \mathrm{𝟎}=\mathrm{𝟎}\circ 𝐀=\mathrm{𝟎}.\end{array}$ الگو:پایان وسط‌چین

• برای بردارهای $x$ و $y$ و ماتریسهای قطری آنها $D_x$ و $D_y$ روابط پایین برقرار است:

الگو:وسط‌چین ${𝐱}^{*}(𝐀\circ 𝐁)𝐲=\mathrm{t}\mathrm{r}\left({𝐃}_{𝐱}^{*}𝐀{𝐃}_{𝐲}{𝐁}^{𝖳}\right),$ الگو:پایان وسط‌چین الگو:وسط‌چین $\begin{array}{cc}\sum _i(A\circ B{)}_{ij}& ={\left(B^{𝖳}A\right)}_{jj}\\ & ={\left(A{B}^{𝖳}\right)}_{ii}.\end{array}$ الگو:پایان وسط‌چین الگو:وسط‌چین $\left(𝐲{𝐱}^{*}\right)\circ 𝐀={𝐃}_{𝐲}𝐀{𝐃}_{𝐱}^{*}$ الگو:پایان وسط‌چین

• برای مقادیر ویژه ماتریسهای $A$ و $B$ رابطه پایین برقرار است، در اینجا ${\lambda }_i(A)$ $i$ -امین مقدار ویژه ماتریس $A$ است:

الگو:وسط‌چین $\prod _{i=k}^n{\lambda }_i(𝐀\circ 𝐁)\ge \prod _{i=k}^n{\lambda }_i(𝐀𝐁),k=1,\dots ,n,$ الگو:پایان وسط‌چین