ضرب اویلر

در نظریه اعداد، ضرب اویلر الگو:انگلیسی، بسطی از سری دیریکله به یک ضرب نامتناهی است که توسط اعداد اول اندیس گذاری شده‌اند. اصل چنین ضرب‌هایی توسط لئونارد اویلر در اثبات نمایشی از زتای ددکیند توسط این نوع ضرب‌ها ارائه گشت. این سری و ادامه تحلیلی آن به کل صفحه مختلط بعدها به تابع زتای ریمان معروف شد.

تعریف

در کل، اگر $a$ یک تابع ضربی کراندار باشد، سری دیریکله آن به صورت زیر است:

$\sum _{n}a(n)n^{-s}$

که سری فوق با ضرب زیر نیز برابر است:

$\prod _{p}P(p,s)$ برای Re(s)>1

که ضرب روی اعداد اول $p$ گرفته شده و $P(p,s)$ جمع زیر است:

$1+a(p)p^{-s}+a(p^2)p^{-2s}+\cdots .$

در حقیقت، اگر ما این فرمول‌ها را به عنوان توابع مولد صوری در نظر بگیریم، وجود بسط ضرب اویلر صوری شرط لازم و کافی برای ضربی بودن $a(n)$ خواهد بود: این مطلب بیان می‌دارد که دقیقاً هنگامی که $n$ به صورت ضرب توان‌های $p^k$ از اعداد اول متمایز $p$ باشد، $a(n)$ به صورت ضرب $a(p^k)$ها خواهد بود.

یک حالت خاص مهم زمانی است که $a(n)$ کاملاً ضربی بوده، چنان‌که $P(p,s)$ سری هندسی باشد. سپس خواهیم داشت:

$P(p,s)=\frac{1}{1-a(p)p^{-s}},$

همچون تابع زتای ریمان که در آن $a(n)=1$ است و برای حالت کلی تر کاراکترهای دیریکله نیز برقرار است.

منابع

• G. Polya, Induction and Analogy in Mathematics Volume 1 Princeton University Press (1954) L.C. Card 53-6388 (A very accessible English translation of Euler's memoir regarding this "Most Extraordinary Law of the Numbers" appears starting on page 91)
• الگو:Apostol IANT (Provides an introductory discussion of the Euler product in the context of classical number theory.)
• G.H. Hardy and E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, 5th ed. , Oxford (1979) الگو:Isbn (Chapter 17 gives further examples.)
• George E. Andrews, Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part I, Springer (2005), الگو:Isbn
• G. Niklasch, Some number theoretical constants: 1000-digit values"

پیوند به بیرون

• الگو:PlanetMath reference
• الگو:Springer
• الگو:MathWorld
• الگو:Cite web