سری فوریه گسسته کاهنده

سری فوریه گسسته کاهنده الگو:به انگلیسی الگو:مخفف انگلیسی که در ریاضیات کاربردی مورد استفاده قرار می‌گیرد، در واقع بسط و گسترش تبدیل فوریه گسسته است. در این گسترش ضرایب تبدیل با روشی مشابه کمترین مربعات و دورهٔ تناوب انتخابی محاسبه می‌گردد. این سری اولین بار توسط ارودا معرفی شد. از این سری می‌توان برای هموار کردن (smooth) اطلاعات در یک و دو بعد استفاده کرد.

تکنیک

یک‌بعدی

سری فوریه گسسته کاهندهٔ یک بعدی که توسط ارودا معرفی شد را می‌توان به صورت ساده‌ای نشان داد. با داشتن آرایهٔ نمونه‌برداری (سیگنال) $x_n=x(t_n)$، می‌توان عبارت جبری زیر را نوشت: الگو:وسط‌چین $x_n=\sum _{k=-q}^q{X}_k{e}^{\frac{-i2\pi k{t}_n}{T}}+{\epsilon }_n,t_n\text{ arbitrary },n=1,\dots ,N$ الگو:پایان وسط‌چین در این حالت معمولاً و نه لزوما $t_n=n\mathrm{\Delta }t$ برقرار است.

فرمول بالا را می‌توان به صورت ماتریسی نیز نوشت: الگو:وسط‌چین $WX=x+\epsilon$ الگو:پایان وسط‌چین

راه حل کمترین مربعات برای دستگاه معادلات خطی بالا به صورت زیر تعریف می‌شود:

الگو:وسط‌چین $\hat{X}=(W^{H}W{)}^{-1}{W}^{H}x$ الگو:پایان وسط‌چین

سیگنال هموار (smooth) شده نیز از معادله زیر به دست می‌آید: الگو:وسط‌چین $\hat{x}=Wx$ الگو:پایان وسط‌چین

اولین مشتق سیگنال هموار شده $\hat{x}$ نیز به صورت زیر محاسبه می‌شود: الگو:وسط‌چین $\frac{dx}{dt}(t_n)=\sum _{k=-q}^q\frac{-i2\pi k}{T}{X}_k{e}^{\frac{-i2\pi k{t}_n}{T}},n=1,\dots ,N$ الگو:پایان وسط‌چین

جستارهای وابسته

• سری فوریه
• فهرست تبدیل‌های مرتبط با تبدیل فوریه
• تبدیل فوریه گسسته

منابع

• الگو:یادکرد ویکی