زیرگروه نرمال

الگو:نوارکناری نظریه گروه در جبر مجرد، یک زیرگروه نرمال الگو:به انگلیسی (که به آن زیرگروه ناوردا یا زیرگروه خود-الحاقی نیز می‌گویند)الگو:Sfn زیرگروهی است که تحت مزدوج‌گیری توسط اعضای گروهی که داخل آن قرار دارد ناورداست. به بیان دیگر، یک زیرگروه $N$ از گروهی چون $G$ در $G$ نرمال است اگر و تنها اگر برای تمام $g \in G$ و $n \in N$ نتیجه شود $g n g^{-} 1 \in N$ . نمادگذاری رایج برای زیرگروه نرمال $N ◃ G$ است.

زیرگروه‌های نرمال مهم‌اند، چرا که آن‌ها(و فقط آن‌ها) را می‌توان برای ساخت گروه‌های خارج قسمتیِ گروهِ داده شده مورد استفاده قرار داد. به علاوه، زیرگروه‌‎های نرمال $G$ دقیقاً هسته‌های همریختی‌های گروهی با دامنه $G$ اند؛ لذا می‌توان از این زیرگروه‌ها به طور ذاتی برای طبقه‌بندی چنین همریختی‌هایی بهره جست.

اواریسته گالوا اولین کسی بود که متوجه اهمیت وجود زیرگروه‌های نرمال شد.الگو:Sfn

تعاریف

یک زیرگروه $N$ از $G$ را زیرگروه نرمال از $G$ گویند، اگر تحت مزدوج‌گیری ناوردا باشد؛ یعنی مزدوج عنصر دلخواهی از $N$ تحت عنصر دلخواهی از $G$ همیشه در $N$ قرار بگیرد.الگو:Sfn نمادگذاری این رابطه $N ◃ G$ است.

شرایط معادل

برای هر زیرگروه $N$ از $G$ ، شرایط زیر معادل‌اند با این که $N$ زیر گروه نرمالی از $G$ باشد. بنابراین هر کدام از آن‌ها را می‌توان به عنوان تعریف زیرگروه نرمال به کار برد:

تصویر تزویجی (تصویر تحت مزدوج گیری) $N$ تحت هر عنصر $G$ زیرمجموعه‌ای از $N$ باشد.الگو:Sfn
تصویر تزویجی $N$ تحت هر عنصر $G$ برابر $N$ باشد.الگو:Sfn
برای تمام $g \in G$ ، همدسته‌های چپ و راست $g N$ و $N g$ برابر باشند.الگو:Sfn
همدسته‌های چپ و راست $N$ در $G$ با هم یکی شوند.الگو:Sfn
ضرب یک عنصر از همدسته چپ $N$ نسبت به $g$ و یک عنصر از همدسته چپ $N$ نسبت به $h$ ، عنصری از همدسته چپ $N$ نسبت به $g h$ باشد: یعنی اگر $\forall x, y, g, h \in G$ از $x \in g N$ و $y \in h N$ نتیجه شود که $x y \in (g h) N$ .
$N$ برابر اجتماع رده‌های تزویجی $G$ باشد.الگو:Sfn
$N$ تحت درون‌ریختی‌های داخلی از $G$ حفظ شود.الگو:Sfn
همریختی گروهی چون $G \to H$ وجود دارد چنان که هسته آن $N$ باشد.الگو:Sfn
برای تمام $n \in N$ و $g \in G$ ، جابجاگر $[n, g] = n^{- 1} g^{- 1} n g$ در $N$ باشد.
هر دو عنصر گروه $G$ در رابطه زیر صدق کنند: