روش گشتاورها (آمار)

در آمار، روش گشتاورها الگو:انگلیسی روشی است برای تخمین مقادیر پارامترهای یک توزیع احتمال که نمونههایی از آن مشاهده شده‌است. در این روش، تخمین گشتاورهای توزیع احتمال با مقدار نظری گشتاورها (که تابعی از پارامترها هستند) برابر قرار داده شده و مقدار پارامترها تخمین‌زده می‌شوند.

روش

فرض کنید که می‌خواهیم $p$ پارامتر مجهول به نام‌های ${\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_p$ را که تابع توزیع $f_W(w;\mathit{\theta })$ را مشخص می‌سازند برآورد کنیم. فرض کنید بتوانیم $p$ تا از گشتاورهای توزیع حقیقی به صورت زیر برحسب توابعی از $\mathit{\theta }$ بنویسیم:

${\mu }_1\equiv E[W^1]=g_1({\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_p),$

${\mu }_2\equiv E[W^2]=g_2({\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_p),$

$⋮$الگو:سخ

${\mu }_p\equiv E[W^p]=g_p({\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_p).$

فرض کنید $\widehat{{\mu }_j}=({\mathrm{\Sigma }}_{i=1}^n{w}_i^j)/n$، j-امین گشتاور تجربی محاسبه شده برای گشتاور ${\mu }_j$ باشد. تخمین پارامترهای ${\theta }_1,{\theta }_2,\dots ,{\theta }_p$ به کمک روش گشتاورها که با ${\hat{\theta }}_1,\widehat{{\theta }_2},\dots ,{\hat{\theta }}_p$ نشان‌داده می‌شود از حل معادله‌های زیر به‌دست می‌آید (اگر معادلات جواب داشته‌باشند.):

${\hat{\mu }}_1=g_1({\hat{\theta }}_1,\widehat{{\theta }_2},\dots ,{\hat{\theta }}_p),$

${\hat{\mu }}_2=g_2({\hat{\theta }}_1,\widehat{{\theta }_2},\dots ,{\hat{\theta }}_p),$

$⋮$الگو:سخ

${\hat{\mu }}_p=g_p({\hat{\theta }}_1,\widehat{{\theta }_2},\dots ,{\hat{\theta }}_p).$

مزایا و معایب

در بسیاری از کاربردها، روش درست‌نمایی بیشینه رونالد فیشر جایگزین روش گشتاورها شده‌است. دلایل اصلی برتری درست‌نمایی بیشینه، تقریب بهتر پارامترها توسط این روش است و این نکته که درست‌نمایی بیشینه همواره تقریب‌های بامعنایی تولید می‌کند درحالی که نتیجهٔ روش گشتاورها گاهی ممکن‌است از نظر فیزیکی بی‌معنی باشند. مزیت روش گشتاورها، در برخی توزیع‌ها، سادگی معادلاتی است که برای تخمین پارامترها لازم است حل شوند.

جستارهای وابسته

• درست‌نمایی بیشینه

منابع

الگو:پانویس الگو:چپ‌چین Wikipedia contributors, "Method of moments (statistics)," Wikipedia, The Free Encyclopedia, (accessed January 1, 2013). الگو:پایان چپ‌چین